2.5.11. Надійний інтервал для різниці середніх нормальних сукупностей при рівних дисперсіях

Розглянемо методи побудови надійних інтервалів для різниць і відношень однотипних параметрів різних вибірок (наприклад, математичних сподівань і дисперсій). За величиною цих різниць або відношень можна судити про те, чи збігаються вибіркові розподіли, якщо припустити, що вони належать одному класу розподілів і інші параметри розподілів співпадають. При побудові надійних інтервалів, як завжди, велику роль відіграють апріорні припущення про те, якому класу належать вибіркові розподіли. Наведемо алгоритми побудови надійних інтервалів для параметрів нормального і біноміального розподілів.

Статистична модель. Дані дві одновимірні незалежні вибірки і об’ємів відповідно , одержані із генеральних сукупностей, які мають нормальні розподіли з математичними сподіваннями відповідно. Припускається, що дисперсії обох вибірок невідомі, але рівні.

Необхідно визначити надійний інтервал для різниці математичних сподівань відповідно першої і другої вибірок при невідомих, але рівних дисперсіях.

Алгоритм побудови надійного інтервалу для

1. Обчислюються точкові оцінки математичних сподівань і дисперсій

,

і додатково величини

2. Задається надійний рівень

3. Із рівняння , де функція розподілу Стьюдента з ступенями свободи, обчислюється величина як квантиль розподілу Стьюдента порядку з тією ж кількістю ступенів свободи Значення визначається за оператором

4. Обчислюється надійний інтервал

.

Якщо відоме значення загальної дисперсії то замість розподілу Стьюдента використовується стандартний нормальний розподіл а у формулі обчислення величини замінюються значенням

Коментар. Описаний метод побудови надійного інтервалу сталий при помірних відхиленнях від нормального розподілу, якщо виконуються вимоги рівності дисперсій і об’єми вибірок приблизно рівні.

Приклад 2.16. Дані дві одномірні незалежні вибірки і об’ємів відповідно . Припускається, що дисперсії обох вибірок невідомі, але рівні – . Визначимо надійний інтервал для різниці математичних сподівань відповідно першої і другої вибірок при рівні значущості

Розв’язання. Генеруємо дві вибірки із нормально розподілених генеральних сукупностей об’ємів . Визначаємо точкові оцінки та відповідно середніх арифметичних і дисперсій цих вибірок. Обчислюючи квантиль розподілу Стьюдента і величину знаходимо надійний інтервал для різниці середніх двох генеральних сукупностей, розподілених за нормальними законами при рівних дисперсіях.

Алгоритм у Mathcad

_{Початкові дані}

_{Точкові оцінки математичних сподівань і дисперсій}

_{Різниця математичних сподівань}

_{Додаткова величина}

Для заданого рівня значущості і кількості ступенів свободи визначається квантиль розподілу Стьюдента

_{Надійний інтервал}

◄

2.5.12. Надійний інтервал для різниці середніх нормальних сукупностей при різних дисперсіях

Статистична модель. Дані дві одновимірні незалежні вибірки і об’ємів відповідно одержані із генеральних сукупностей, які мають нормальні розподіли і з математичними сподіваннями і відповідно. Рівність дисперсій вибірок не припускається.

Необхідно визначити надійний інтервал для різниці математичних сподівань відповідно першої і другої вибірки при невідомих дисперсіях.

Алгоритм побудови надійного інтегралу для

1. Обчислюються точкові оцінки математичних сподівань і дисперсій

,

різниця математичних сподівань

,

кількість ступенів свободи

,

і вибіркове середнє квадратичне відхилення різниці величин

2. Задається надійний рівень

3. Із рівняння , де функція розподілу Стьюдента з ступенями свободи, обчислюється величина як квантиль розподілу Стьюдента порядку з тією ж кількістю ступенів свободи Значення визначається за оператором

4. Обчислюється надійний інтервал

.

Коментар

1. Надійний інтервал, побудований за розглянутим алгоритмом є наближеним. Якщо нема підстав відкидати припущення про рівність дисперсій, то слід віддати перевагу використанню точного надійного інтервалу, який визначається за попереднім алгоритмом.

2. Якщо відомі значення дисперсій то замість розподілу Стьюдента використовується стандартний нормальний розподіл, а у формулі обчислення величини замінюються значеннями

3. Описаний алгоритм побудови надійного інтервалу сталий при помірних відхиленнях розподілу вибірки від нормального.

4. Для досить великих об’ємів вибірок, наприклад при , замість розподілу Стьюдента можна використовувати стандартний нормальний розподіл.

Приклад 2.17. Дані дві одновимірні незалежні вибірки і об’ємів відповідно . Припускається, що дисперсії обох вибірок невідомі, і різні – .

Визначимо надійний інтервал для різниці математичних сподівань відповідно першої і другої вибірок при різних невідомих дисперсіях і заданому рівні значущості

Розв’язання. Генеруємо дві вибірки із нормально розподілених генеральних сукупностей об’ємів . Визначаємо точкові оцінки і відповідно середніх арифметичних і дисперсій цих вибірок. Обчислюючи відповідний квантиль розподілу Стьюдента і величину знаходимо надійний інтервал для різниці середніх двох генеральних сукупностей, розподілених за нормальними законами при різних дисперсіях.

Алгоритм у Mathcad

_{Початкові дані}

_{Точкові оцінки математичних сподівань і дисперсій}

_{Різниця математичних сподівань}

_{Кількість ступенів свободи}

Вибіркове середнє квадратичне відхилення різниці величин

Для заданого рівня значущості і кількості ступенів свободи визначається квантиль розподілу Стьюдента

_{Надійний інтервал}

_◄