- •Розділ 2. Методи оцінки параметрів розподілів
- •2.1. Предмет і задачі математичної статистики
- •2.2. Варіаційні ряди та їх характеристики
- •2.2.1. Варіаційні ряди
- •2.2.2. Емпірична функція розподілу
- •2.2.3. Графічне представлення варіаційних рядів
- •2.3. Числові характеристики статистичних розподілів
- •2.3.1. Середні величини
- •2.3.2. Показники варіації
- •2.3.3. Моменти розподілу. Характеристики форми розподілу
- •Алгоритм у Mathcad
- •2.4. Статистичні оцінки параметрів розподілів
- •2.4.1. Поняття статистичної оцінки параметрів
- •2.4.2. Точкові оцінки математичного сподівання і дисперсії
- •2.4.3. Методи знаходження оцінок параметрів розподілу
- •2.4.4. Метод моментів
- •2.4.5. Метод максимальної правдоподібності
- •2.4.6. Метод найменших квадратів
- •2.4.7. Метод мінімуму χ2
- •2.5. Методи інтервальної оцінки параметрів розподілів
- •2.5.1. Надійні інтервали
- •2.5.2. Надійний інтервал для математичного сподівання нормального розподілу a при відомому σ
- •2.5.3. Надійний інтервал для математичного сподівання нормального розподілу a при невідомому σ
- •2.5.4. Надійний інтервал для генерального середнього
- •2.5.5. Надійний інтервал для дисперсії нормального розподілу при відомому математичному сподіванні
- •2.5.6. Надійний інтервал для дисперсії нормального розподілу при невідомому математичному сподіванні
- •2.5.7. Оцінка ймовірності біноміального розподілу за частотою
- •Оцінка математичного сподівання
- •2.5.9. Оцінка параметрів гамма-розподілу
- •2.5.10. Інтервальна оцінка параметра розподілу Пуассона
- •2.5.11. Надійний інтервал для різниці середніх нормальних сукупностей при рівних дисперсіях
- •2.5.12. Надійний інтервал для різниці середніх нормальних сукупностей при різних дисперсіях
- •2.5.13. Надійний інтервал для відношення дисперсій нормальних сукупностей
2.5.10. Інтервальна оцінка параметра розподілу Пуассона
Статистична модель. Генеральна сукупність має розподіл Пуассона з параметром
Незміщеною й ефективною оцінкою невідомого параметра є вибіркове середнє . Дисперсія цієї оцінки дорівнює . Випадкова величина має розподіл Пуассона з параметром , а випадкова величина асимптотично нормальна з параметрами (0, 1).
Надійний інтервал для параметра будується або на основі розподілу Пуассона, який має випадкова величина , або на основі асимтотичної нормальності розподілу випадкової величини .
Алгоритм побудови надійного інтервалу для параметра з використанням розподілу Пуассона
1. Обчислюється точкова оцінка .
2. Задається надійний рівень .
3. Визначаються квантилі -розподілу, де – функція, обернена до функції –розподілу з ступенем свободи. Квантилі -розподілу визначаються за функцією Mathcad qchisq( ).
Тут використані відомі співвідношення між розподілом Пуассона і розподілом .
4. Визначаються границі надійного інтервалу
.
Приклад 2.14. За даними вибірки об’єму їз генеральної сукупності, розподіленої за законом Пуассона, визначимо надійний інтервал для параметра із рівнем значущості
Розв’язання. Змоделюємо вибірку об’єму із генеральної сукупності з розподілом Пуассона з параметром (вибірку моделюємо за допомогою функції ). Знаходячи точкову оцінку середнього арифметичного і відповідні квантилі -розподілу, знаходимо надійні інтервали для параметра .
Алгоритм у Mathcad
Початкові дані
Моделювання вибірки
Фрагмент вибірки
Вибіркове середнє і дисперсія
Кількість ступенів свободи
Квантилі розподілу
Надійний інтервал для параметра
◄
Алгоритм побудови асимптотичної оцінки для параметра λ
При досить великому наближений надійний інтервал для значення будується таким чином:
1. Обчислюється точкова оцінка
2. Задається довірча імовірність (рівень значущості ).
3. Визначається квантиль стандартного нормального розподілу , де функція, обернена до функції стандартного нормального розподілу. Квантиль визначається за функцією Mathcad qnorm( ).
4. Визначаються границі надійного інтервалу для параметра
.
При побудові цього надійного інтервалу використовується апроксимація розподілу Пуассона нормальним розподілом. Невідоме значення дисперсії замінюється величиною
Можна будувати надійний інтервал вигляду
,
де використовується тільки апроксимація розподілу Пуассона нормальним розподілом.
Приклад 2.15. За даними попереднього прикладу визначимо надійний інтервал для параметра із рівнем значущості використовуючи асимптотичну оцінку цього параметра.
Алгоритм у Mathcad
Початкові дані
Середнє арифметичне
Квантиль нормованого нормального розподілу
Надійний інтервал для параметра
Надійний інтервал для параметра з використанням апроксимації розподілу Пуассона нормальним розподілом
◄