17) Смешанное произведение векторов. Свойства и геометрический смысл. Компланарные векторы.
Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Смешанным произведением векторов а, b и с называется результат скалярного умножения векторного произведения [ab] на вектор с.
Обозначение: abc = [ab]c.
Свойства смешанного произведения.
Смешанное произведение [ab]c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b,c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a,b и с компланарны, то [ab]c = 0.
Доказательство.
а) Если a,b и с компланарны, то вектор [ab] ортогонален плоскости векторов а и b, и, следовательно, [ab] c. Поэтому [ab]c = 0.
в)
Если a,b,c
не компланарны,
[ab]c
= |[ab]||c|
= S·|c|cosφ,
где φ – угол между с
и [ab].
Тогда
|c|cosφ
– высота рассматриваемого параллелепипеда.
Таким образом, [ab]c
=
V,
где выбор знака зависит от величины
угла между с
и [ab].
Утверждение доказано.
Следствие. [ab]c = a[bc].
Действительно, обе части равенства представляют объем одного и того же переллелепипеда. Поэтому положение векторных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся : abc.
Если a = {Xa, Ya, Za}, b = {Xb, Yb, Zb}, c = {Xc, Yc, Zc}, то
abc
=
.
Доказательство. Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем:
[ab]c = (YaZb – YbZa)Xc + (XbZa – XaZb)Yc + (XaYb – XbYa)Zc = .
Пример 1. Найдем смешанное произведение векторов a = {-3, 2, -1}, b = {2, 1, 0}, c = {-1, 3, -1}. Для этого вычислим определитель, составленный из их коодинат:
следовательно,
векторы компланарны.
18) Полярная система координат
Кроме прямоугольной или декартовой системы координат часто используется полярная система координат. Возьмем на плоскости направленную прямую Ох и на ней точку О (рис. 15).
Положение точки М на этой плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием r от взятой нами точки О и углом φ, образуемым отрезком ОМ с положительным направлением прямой Ох. Отсчет углов обычно ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Числа r и φ называются полярными координатами точки М, причем r называется радиус-вектором, φ - полярным углом. Прямая Ох называется полярной осью, а точка О - полюсом полярной системы координат. Заметим, что r (как расстояние) - всегда величина положительная, а угол φ может изменяться от 0 до 2π и далее до бесконечности. Координатные линии полярной системы суть концентрические окружности с центром в точке О (r =const) и лучи, выходящие из точки О ( φ =const ).
Из рис. 16 видно, что если полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось - с осью абсцисс, то прямоугольные координаты точки М выражаются через ее полярные координаты следующим образом:
Полярные координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты такими формулами:
Определяя
величину φ из (52) и имея в виду, что r >
0, видим, что знак
Отсюда по знаку sin φ и cos φ легко установить четверть, в которой лежит искомый угол. Пример 1. Написать уравнение прямой x = 3 в полярной системе координат.
Пример 2. Построить кривую, зная, что полярные координаты ее точек удовлетворяют уравнению r = a(1 + cos φ ), (a > 0). Эта кривая называется кардиоида. Решение. Чтобы начертить эту кривую, нужно давать φ последовательно значения от φ = 0 до φ = π (с некоторым шагом) и определять по ее уравнению соответствующие значения r. Каждой из полученных пар чисел (r, φ ) соответствует в плоскости полярной системы координат единственная точка. Построив и соединив их плавной линией, получим кардиоиду (рис. 17).
|
должен
быть одинаков со знаком y, а знак
-
со знаком х.
