- •1.Определения и вычисление 2 и 3го порядка. Свойства определителей.
- •2.Матрицы,основные определения. Действия над матрицами.
- •3.Определение минора элемента, алгебраического дополнения.
- •4.Понятие обратной матрицы. Теорема об ее вычислении.
- •5.Понятие о ранге матрицы.
- •6.Системы линейных уравнений. Основные понятия.
- •7.Системы линейных однородных уравнений. Методы решения.
- •8.Правило Крамера.
- •Если система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .
- •9.Метод Гаусса.
- •10) Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.
- •11)Векторы. Основные определения. Сложение и вычитание векторов.
- •12)Умножение вектора на скаляр. Коллинеарные вектора. Необходимое и достаточное условия коллинеарности векторов.
- •13)Определение проекции вектора на ось. Теоремы о проекциях. Вектор в трехмерном пространстве. Направляющие косинусы. Разложение вектора по ортам.
- •14) Линейная зависимость и независимость векторов.
- •15)Скалярное произведение векторов. Геометрический и механический смысл. Свойства. Таблица умножения ортов. Угол между векторами.
- •16)Понятие тройки векторов. Левая, правая тройка, Определение векторного произведения. Геометрический смысл. Свойства. Векторное произведение в декартовых координатах.
- •17) Смешанное произведение векторов. Свойства и геометрический смысл. Компланарные векторы.
- •18) Полярная система координат
- •19) Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Частные случаи. Расположение двух прямых на плоскости.
- •20)Эллипс.
- •21)Гипербола.
- •22)Парабола.
- •23)Уравнение линии и поверхности в пространстве.
- •24)Плоскость. Общее уравнение. Случаи расположения 2-х плоскостей в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
- •25.Уравнение прямой в пространстве. Случаи расположения двух прямых. Угол между прямой и плоскостью. Формула расстояния от точки до плоскости.
- •26. Поверхности второго порядка. Построение методом сечений.
- •27.Определение функции. Способы задания. Классификация.
- •28.Предел числовой последовательности. Основные определения. Теорема об ограниченной последовательности.
- •29. Основные теоремы о пределах.
- •30.Определение множества и ограниченного множества. Супремум. Инфимум.
- •Ограниченное числовое множество.
- •Ограниченное множество в метрическом пространстве
- •Ограниченность в частично упорядоченном множестве
- •31.Определение предела числовой последовательности. Признаки существования предела, теорема о зажатой последовательности.
- •32.Предел функции. Теоремы о пределах. Способы вычисления пределов.
- •Алгоритм решения.
- •33.Определение предела функции. 1 и 2 замечательный предел.
- •Бесконечно большие f(X) и g(X) считаются величинами одного порядка, если
- •Если , то f(X) считается бесконечно большой более высокого порядка, чем g(X).
- •Бесконечно большая f(X) называется величиной k-го порядка относительно бесконечно большой g(X), если .
- •35.Односторонние пределы функции. Определение. Непрерывность функции в точке.
- •36.Непрерывность функции в точке.
- •37.Понятие проивзодной,ее физический и геометрический смысл.
- •38. Определение производной. Правило дифференцирования суммы и частного функции, разности и произведения функций.
- •39.Правило дифференцирования сложной функции. Теорема о производной обратной функции. Дифференцирование функции, заданной неявно. Понятие логарифмической производной.
- •40.Нахождение производной функции, заданной параметрически.
- •41.Дифференциал. Определение ,свойства, геометрический смысл.
- •42.Дифференциалы и производные высших порядков.
- •43.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши и их геометрический смысл.
- •44.Правило Лопиталя. Следствие о раскрытии неопределенностей разных видов.
- •45.Формула Тейлора.
- •46.Выпуклость и вогнутость кривых. Определение. Определение точки перегиба.
- •47.Асимпоты. Определение. Классификация.
- •48.Комплескные числа.
- •49.Функции нескольких переменных.
- •50.Предел функции двух переменных. Непрерывные функции, частные производные.
- •51.Полный дифференциал. Производные сложной функции.
- •52.Неявные функции и их дифференцирование.
- •53.Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные.
- •54.Дифференциалы высших порядков.
- •55.Первообразная функция и неопределенный интеграл .Свойства неопределенного интеграла.
- •56.Интегрирование методом замены и внесения под знак дифференциала.
- •57.Интегрирование по частям.
- •58. Интегрирование рациональных функций.
- •59.Интегрирование иррациональных функций.
- •1. Сделаем замену , тогда , а . Следовательно,
- •2. . Так как , а , выберем в качестве новой переменной . Тогда . Поэтому
- •60.Интегрирование тригонометрических функций.
41.Дифференциал. Определение ,свойства, геометрический смысл.
Если приращение функции y = f(x) при х = х0 можно представить в виде
, (17.2)
где A = const, то y = f(x) называется дифференцируемой при х = х0, а АΔх называется главной линейной частью приращения или дифференциалом функции.
Обозначение: dy = АΔх .
Замечание. Так как при у = х получаем dx = 1·Δx, можно обозначать Δх = dx.
Теорема 17.1. Функция дифференцируема в некоторой точке в том и только в том случае, если она имеет в этой точке производную.
Доказательство.
Если для y=f(x) существует , то , где β(Δх) – бесконечно малая при Δх→0. Тогда . Следовательно, функция y = f(x) дифференцируема при х = х0, причем А = f`(x0).
Пусть y=f(x) дифференцируема при х=х0, то есть ее приращение имеет вид (17.2). Тогда . Таким образом, f(x) имеет производную в точке х0, равную А.
Следствие. Дифференциал функции можно представить в виде , а производную – в виде .
Теорема 17.2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Из формулы (17.2) следует, что , что и означает непрерывность f(x) при х = х0.
Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость. Например, y = |x| непрерывна при х = 0, но не дифференцируема в этой точке.
Геометрический смысл дифференциала
у Рассмотрим график функции y=f(x) и проведем
В касательную к нему при х=х0. Тогда при прира-
щении аргумента Δх приращение функции Δу
С равно длине отрезка BD, а приращение ордина-
ты касательной равно длине
А D отрезка CD. Следовательно, дифференциал
функции равен приращению ординаты
Δх касательной.
х0 х
42.Дифференциалы и производные высших порядков.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [ab]. В таком случае ее производная представляет собой тоже некоторую функцию х. Продифференцировав эту функцию, мы получим так называемую вторую производную (или производную второго порядка) функции f(x). Продолжая эту операцию, можно получить производные третьего, четвертого и более высоких порядков. При этом f`(x) будем называть производной первого порядка.
Определение 19.1. Производной n-го порядка (или n-й производной) от функции f(x) называется производная (первого порядка) от ее (n-1)-й производной.
Обозначение: у(n)=(y(n-1))΄=f(n)(x). Производные 2-го и 3-го порядка обозначаются соответственно y′΄ и y΄′΄.
Примеры.
Найдем производную 3-го порядка от функции y=x³-5x²+3x+12.
y΄=3x²-10x+3, y΄΄=(y΄)΄=6x-10, y΄΄΄=(y΄΄)΄=6.
Получим общую формулу для производной n-го порядка функции y=abx.
y΄=abx·lna·b, y΄΄=lna·b(abx)΄=abx·ln²a·b²,…, y(n)=abx·lnna·bn.
Дифференциалы высших порядков.
Определение 19.2. Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка.
Обозначение: d²y=d(dy).
При вычислении второго дифференциала учтем, что dx не зависит от х и при дифференцировании выносится за знак производной как постоянный множитель.
Итак, d²y=d(dy)=d(f΄(x)dx)=(f΄(x)dx)΄dx=(f΄(x))΄(dx)²=f΄΄(x)dx². (19.3)
Подобным же образом можно найти третий дифференциал от данной функции:
d³y=d(d²y)=f΄΄΄(x)d³x и дифференциалы более высоких порядков.
Определение 19.3. Дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка:
dny = d(dn-1y) = (f(n-1)(x)dn-1x)΄ = f(n)(x)dnx.