- •1.Определения и вычисление 2 и 3го порядка. Свойства определителей.
- •2.Матрицы,основные определения. Действия над матрицами.
- •3.Определение минора элемента, алгебраического дополнения.
- •4.Понятие обратной матрицы. Теорема об ее вычислении.
- •5.Понятие о ранге матрицы.
- •6.Системы линейных уравнений. Основные понятия.
- •7.Системы линейных однородных уравнений. Методы решения.
- •8.Правило Крамера.
- •Если система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .
- •9.Метод Гаусса.
- •10) Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.
- •11)Векторы. Основные определения. Сложение и вычитание векторов.
- •12)Умножение вектора на скаляр. Коллинеарные вектора. Необходимое и достаточное условия коллинеарности векторов.
- •13)Определение проекции вектора на ось. Теоремы о проекциях. Вектор в трехмерном пространстве. Направляющие косинусы. Разложение вектора по ортам.
- •14) Линейная зависимость и независимость векторов.
- •15)Скалярное произведение векторов. Геометрический и механический смысл. Свойства. Таблица умножения ортов. Угол между векторами.
- •16)Понятие тройки векторов. Левая, правая тройка, Определение векторного произведения. Геометрический смысл. Свойства. Векторное произведение в декартовых координатах.
- •17) Смешанное произведение векторов. Свойства и геометрический смысл. Компланарные векторы.
- •18) Полярная система координат
- •19) Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Частные случаи. Расположение двух прямых на плоскости.
- •20)Эллипс.
- •21)Гипербола.
- •22)Парабола.
- •23)Уравнение линии и поверхности в пространстве.
- •24)Плоскость. Общее уравнение. Случаи расположения 2-х плоскостей в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
- •25.Уравнение прямой в пространстве. Случаи расположения двух прямых. Угол между прямой и плоскостью. Формула расстояния от точки до плоскости.
- •26. Поверхности второго порядка. Построение методом сечений.
- •27.Определение функции. Способы задания. Классификация.
- •28.Предел числовой последовательности. Основные определения. Теорема об ограниченной последовательности.
- •29. Основные теоремы о пределах.
- •30.Определение множества и ограниченного множества. Супремум. Инфимум.
- •Ограниченное числовое множество.
- •Ограниченное множество в метрическом пространстве
- •Ограниченность в частично упорядоченном множестве
- •31.Определение предела числовой последовательности. Признаки существования предела, теорема о зажатой последовательности.
- •32.Предел функции. Теоремы о пределах. Способы вычисления пределов.
- •Алгоритм решения.
- •33.Определение предела функции. 1 и 2 замечательный предел.
- •Бесконечно большие f(X) и g(X) считаются величинами одного порядка, если
- •Если , то f(X) считается бесконечно большой более высокого порядка, чем g(X).
- •Бесконечно большая f(X) называется величиной k-го порядка относительно бесконечно большой g(X), если .
- •35.Односторонние пределы функции. Определение. Непрерывность функции в точке.
- •36.Непрерывность функции в точке.
- •37.Понятие проивзодной,ее физический и геометрический смысл.
- •38. Определение производной. Правило дифференцирования суммы и частного функции, разности и произведения функций.
- •39.Правило дифференцирования сложной функции. Теорема о производной обратной функции. Дифференцирование функции, заданной неявно. Понятие логарифмической производной.
- •40.Нахождение производной функции, заданной параметрически.
- •41.Дифференциал. Определение ,свойства, геометрический смысл.
- •42.Дифференциалы и производные высших порядков.
- •43.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши и их геометрический смысл.
- •44.Правило Лопиталя. Следствие о раскрытии неопределенностей разных видов.
- •45.Формула Тейлора.
- •46.Выпуклость и вогнутость кривых. Определение. Определение точки перегиба.
- •47.Асимпоты. Определение. Классификация.
- •48.Комплескные числа.
- •49.Функции нескольких переменных.
- •50.Предел функции двух переменных. Непрерывные функции, частные производные.
- •51.Полный дифференциал. Производные сложной функции.
- •52.Неявные функции и их дифференцирование.
- •53.Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные.
- •54.Дифференциалы высших порядков.
- •55.Первообразная функция и неопределенный интеграл .Свойства неопределенного интеграла.
- •56.Интегрирование методом замены и внесения под знак дифференциала.
- •57.Интегрирование по частям.
- •58. Интегрирование рациональных функций.
- •59.Интегрирование иррациональных функций.
- •1. Сделаем замену , тогда , а . Следовательно,
- •2. . Так как , а , выберем в качестве новой переменной . Тогда . Поэтому
- •60.Интегрирование тригонометрических функций.
54.Дифференциалы высших порядков.
Дифференциалом второго порядка функции u = f (x, y, z) называется
Аналогично можно определить дифференциалы 3-го и более высоких порядков:
Дифференциалом порядка k называется полный дифференциал от дифференциала порядка (k – 1): d k u = d (d k-1 u).
Свойства дифференциалов высших порядков.
k-й дифференциал является однородным целым многочленом степени k относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные k-го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (такие же, как при обычном возведении в степень):
.
Дифференциалы порядка выше первого не инвариантны относительно выбора переменных.
Экстремум функции двух переменных
Пусть функция определена в некоторой области G и точка .
Функция имеет в точке максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство .
Аналогично определяется минимум функции.
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Теорема (необходимое условие экстремума). Если –точка экстремума функции , то частные производные и в этой точке равны нулю или не существуют.
Точки, в которых частные производные и обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками этой функции.
55.Первообразная функция и неопределенный интеграл .Свойства неопределенного интеграла.
Функция F(x) называется первообразной (для) функции f(x) на некотором множестве значений х, если F΄(x) = f(x) на этом множестве.
Теорема 6.1. Если функции F(x) и G(x) являются первообразными одной и той же функции f(x) на некотором множестве, то необходимым и достаточным условием этого является то, что G(x) = F(x) + C, где С – любая постоянная.
Доказательство.
Пусть F(x) - первообразная f(x), то есть F΄(x) = f(x). Тогда для любого числа C (F(x) + C)΄= F΄(x) + C΄= F΄(x) + 0 = f(x), то есть F(x) + C - первообразная f(x).
Пусть F(x) и G(x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x). Тогда (F(x) – G(x))΄= F΄(x) - G΄(x) = f(x) – f(x) = 0, следовательно, F(x) – G(x) = C (по следствию из теоремы Лагранжа). Теорема доказана.
Таким образом, если функция на данном множестве имеет одну первообразную, то она имеет их бесконечно много, причем все они отличаются друг от друга постоянными слагаемыми.
Определение 5.2. Совокупность всех первообразных функции f(x) на некотором множестве называется ее неопределенным интегралом.
Обозначение: .
f(x) при этом называется подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла.
1.
2.
3. Действительно, а . Но, поскольку С1+С2 – произвольная постоянная, выражения в левой и правой частях равны.
4.
Замечание. Все перечисленные свойства формулировались и доказывались в предположении, что на некотором множестве существуют первообразные функций f(x) и g(x), равные соответственно F(x) и G(x).