12)Умножение вектора на скаляр. Коллинеарные вектора. Необходимое и достаточное условия коллинеарности векторов.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов  a = ( x, y, z )  и  b = ( u, v, w ) :

  

Произведением вектора на действительное число m называется вектор , который удовлетворяет условиям:

Следовательно, если векторы и коллинеарные, то

13)Определение проекции вектора на ось. Теоремы о проекциях. Вектор в трехмерном пространстве. Направляющие косинусы. Разложение вектора по ортам.

Три вектора , , называются линейно-независимыми, если они не лежат в одной плоскости.

Базисом в трехмерном пространстве R³ называется упорядоченная тройка любых линейно-независимых векторов.

Если - базис в R³, то любой другой вектор, например , единственным образом разлагается по этому базису

где числа d_a, d_b, d_c находятся единственным образом и называются координатами вектора в базисе

Базис называется прямоугольным (ортогональным), если векторы попарно перпендикулярны. Если они к тому же имеют длину, равную единице, то базис называется ортонормированным.

В пространстве R³ обычно используют прямоугольную декартову систему координат Оxyz, где любая точка М пространства, имеющая координаты х (абсциссу), y (ординату) и z (аппликату), обозначается М(x, y, z).

Свободный вектор, например , заданный в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде

Здесь x_d, y_d, z_d - проекции вектора на соответствующие оси координат (координаты вектора), - орты этих осей.

Пишут

Длина вектора определяется по формуле

Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными им с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов (так называемые направляющие косинусы вектора) вычисляются по формулам:

Координаты вектора будут равны

Подставив эти выражения в формулу вычисления длины вектора, установим, что направляющие косинусы вектора связаны соотношением

14) Линейная зависимость и независимость векторов.

Линейной комбинацией векторов а_1, а₂,…,а_n называется выражение вида: k₁a₁ + k₂a₂ +…+ k_na_n, (5.1)

где k_i – числа.

Векторы а_1, а₂,…,а_n называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа k₁, k₂,…, k_n, не все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, т.е. k₁a₁ + k₂a₂ +…+ k_na_n = 0. (5.2)

Если же равенство (5.2) возможно только при всех k_i = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Замечание 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Замечание 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Два линейно независимых вектора на плоскости ( или три линейно независимых вектора в пространстве) образуют базис, если любой вектор плоскости (пространства) может быть представлен в виде их линейной комбинации. Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами данного вектора в рассматриваемом базисе:

если a, b, c – базис и d = ka + mb + pc, то числа k, m, p есть координаты вектора d в базисе a, b, c.