22)Парабола.

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.

у Для вывода уравнения параболы выберем декартову

систему координат так, чтобы ее началом была середина

d M(x,y) перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директри-

r су, а координатные оси располагались параллельно и

перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD

D O F x равна р. Тогда из равенства r = d следует, что

поскольку

Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y² = 2px , (11.4)

называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.

Свойства параболы:

1. Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2. Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e<1), гиперболу (при e>1) или параболу (при е=1).

23)Уравнение линии и поверхности в пространстве.

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О₁ есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки O₁ на расстоянии R.

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками простран­ства и тройками чисел х, у и z — их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего ко­ординаты всех точек поверхности.

Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F(x, у, z) = 0 с тремя переменны­ми х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении поверхности называ­ются текущими координатами точек поверхности.

Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка M₁(x₁;y₁;z₁) на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки M₁ в уравнение поверхности вместо пере­менных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют — не лежит.

            Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F(x, y, z) = 0.

            Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

            Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

            Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

            Тогда пару уравнений назовем уравнением линии в пространстве.