- •1.Определения и вычисление 2 и 3го порядка. Свойства определителей.
- •2.Матрицы,основные определения. Действия над матрицами.
- •3.Определение минора элемента, алгебраического дополнения.
- •4.Понятие обратной матрицы. Теорема об ее вычислении.
- •5.Понятие о ранге матрицы.
- •6.Системы линейных уравнений. Основные понятия.
- •7.Системы линейных однородных уравнений. Методы решения.
- •8.Правило Крамера.
- •Если система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .
- •9.Метод Гаусса.
- •10) Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.
- •11)Векторы. Основные определения. Сложение и вычитание векторов.
- •12)Умножение вектора на скаляр. Коллинеарные вектора. Необходимое и достаточное условия коллинеарности векторов.
- •13)Определение проекции вектора на ось. Теоремы о проекциях. Вектор в трехмерном пространстве. Направляющие косинусы. Разложение вектора по ортам.
- •14) Линейная зависимость и независимость векторов.
- •15)Скалярное произведение векторов. Геометрический и механический смысл. Свойства. Таблица умножения ортов. Угол между векторами.
- •16)Понятие тройки векторов. Левая, правая тройка, Определение векторного произведения. Геометрический смысл. Свойства. Векторное произведение в декартовых координатах.
- •17) Смешанное произведение векторов. Свойства и геометрический смысл. Компланарные векторы.
- •18) Полярная система координат
- •19) Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Частные случаи. Расположение двух прямых на плоскости.
- •20)Эллипс.
- •21)Гипербола.
- •22)Парабола.
- •23)Уравнение линии и поверхности в пространстве.
- •24)Плоскость. Общее уравнение. Случаи расположения 2-х плоскостей в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
- •25.Уравнение прямой в пространстве. Случаи расположения двух прямых. Угол между прямой и плоскостью. Формула расстояния от точки до плоскости.
- •26. Поверхности второго порядка. Построение методом сечений.
- •27.Определение функции. Способы задания. Классификация.
- •28.Предел числовой последовательности. Основные определения. Теорема об ограниченной последовательности.
- •29. Основные теоремы о пределах.
- •30.Определение множества и ограниченного множества. Супремум. Инфимум.
- •Ограниченное числовое множество.
- •Ограниченное множество в метрическом пространстве
- •Ограниченность в частично упорядоченном множестве
- •31.Определение предела числовой последовательности. Признаки существования предела, теорема о зажатой последовательности.
- •32.Предел функции. Теоремы о пределах. Способы вычисления пределов.
- •Алгоритм решения.
- •33.Определение предела функции. 1 и 2 замечательный предел.
- •Бесконечно большие f(X) и g(X) считаются величинами одного порядка, если
- •Если , то f(X) считается бесконечно большой более высокого порядка, чем g(X).
- •Бесконечно большая f(X) называется величиной k-го порядка относительно бесконечно большой g(X), если .
- •35.Односторонние пределы функции. Определение. Непрерывность функции в точке.
- •36.Непрерывность функции в точке.
- •37.Понятие проивзодной,ее физический и геометрический смысл.
- •38. Определение производной. Правило дифференцирования суммы и частного функции, разности и произведения функций.
- •39.Правило дифференцирования сложной функции. Теорема о производной обратной функции. Дифференцирование функции, заданной неявно. Понятие логарифмической производной.
- •40.Нахождение производной функции, заданной параметрически.
- •41.Дифференциал. Определение ,свойства, геометрический смысл.
- •42.Дифференциалы и производные высших порядков.
- •43.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши и их геометрический смысл.
- •44.Правило Лопиталя. Следствие о раскрытии неопределенностей разных видов.
- •45.Формула Тейлора.
- •46.Выпуклость и вогнутость кривых. Определение. Определение точки перегиба.
- •47.Асимпоты. Определение. Классификация.
- •48.Комплескные числа.
- •49.Функции нескольких переменных.
- •50.Предел функции двух переменных. Непрерывные функции, частные производные.
- •51.Полный дифференциал. Производные сложной функции.
- •52.Неявные функции и их дифференцирование.
- •53.Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные.
- •54.Дифференциалы высших порядков.
- •55.Первообразная функция и неопределенный интеграл .Свойства неопределенного интеграла.
- •56.Интегрирование методом замены и внесения под знак дифференциала.
- •57.Интегрирование по частям.
- •58. Интегрирование рациональных функций.
- •59.Интегрирование иррациональных функций.
- •1. Сделаем замену , тогда , а . Следовательно,
- •2. . Так как , а , выберем в качестве новой переменной . Тогда . Поэтому
- •60.Интегрирование тригонометрических функций.
37.Понятие проивзодной,ее физический и геометрический смысл.
Рассмотрим функцию y=f(x), заданную в окрестности точки х0.
Определение 17.1. Если существует конечный предел , то он называется производной функции f в точке х0.
Обозначение: .
Разность называется приращением аргумента, а - приращением функции. Таким образом, можно определить производную как .
Геометрический смысл производной.
у Рассмотрим график функции у=f(x) и проведем
В секущую через точки А с абсциссой х0 и В с
абсциссой х0+Δх. Если обозначить разность
ординат этих точек Δу, то тангенс угла α, образо-
А ванного секущей с осью Ох, можно представить
так: . ЕслиΔх→0, точка В переме-
щается по кривой, приближаясь к точке А, и
α0 α х0 х секущая при совпадении точек В и А превра-
щается в касательную к графику функции,
образующую с осью Ох угол α0. При этом Следовательно, значение производной при данном значении х равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в точке с соответствующим значением х с положительным направлением оси Ох.
Механический смысл производной.
Рассмотрим прямолинейное движение тела, для которого пройденное расстояние есть функция от времени: s=f(t). Среднюю скорость за время Δt можно определить по формуле:
. Для определения мгновенной скорости тела в данный момент времени устремим Δt к нулю. Получим: Таким образом, производная от расстояния в данный момент времени равна мгновенной скорости движения в этот момент. Соответственно производная любой функции при данном значении аргумента равна скорости изменения этой функции при рассматриваемом х.
38. Определение производной. Правило дифференцирования суммы и частного функции, разности и произведения функций.
Если существует конечный предел , то он называется производной функции f в точке х0.
Обозначение: .
Разность называется приращением аргумента, а - приращением функции. Таким образом, можно определить производную как .
Дифференцируемость функции.
Если приращение функции y = f(x) при х = х0 можно представить в виде
, (17.2)
где A = const, то y = f(x) называется дифференцируемой при х = х0, а АΔх называется главной линейной частью приращения или дифференциалом функции.
Обозначение: dy = АΔх .
Замечание. Так как при у = х получаем dx = 1·Δx, можно обозначать Δх = dx.
Функция дифференцируема в некоторой точке в том и только в том случае, если она имеет в этой точке производную.
Доказательство.
Если для y=f(x) существует , то , где β(Δх) – бесконечно малая при Δх→0. Тогда . Следовательно, функция y = f(x) дифференцируема при х = х0, причем А = f`(x0).
Пусть y=f(x) дифференцируема при х=х0, то есть ее приращение имеет вид (17.2). Тогда . Таким образом, f(x) имеет производную в точке х0, равную А.
Следствие. Дифференциал функции можно представить в виде , а производную – в виде .
Теорема 17.2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Из формулы (17.2) следует, что , что и означает непрерывность f(x) при х = х0.
Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость. Например, y = |x| непрерывна при х = 0, но не дифференцируема в этой точке.