3.4.Формула Сімпсона

Будемо вважати, що Інтеграл наближено замінюємо площею заштрихованої криволінійної трапеції (рис. 3.3) , що обмежена зверху параболою , яка проходить через точки де

Рис. 3.3

Вказана парабола задається рівнянням

.

В цьому легко впевнитися, поклавши почергово (її можна також отримати, побудувавши інтерполяційний багаточлен другого ступеню та привести подібні). Звідси знаходимо (перевірити самостійно)

Таким чином, формула Сімпсона має вигляд:

(3.17)

Формулу Сімпсона називають також формулою парабол.

Покладемо де - функція (3.4). Оскільки

то згідно формули Тейлора з залишковим членом в інтегральній формі маємо

Звідси отримуємо

(3.18)

Оскільки то застосуємо до інтегралу (3.18) теорему 3.1, а потім до отриманого результату лему 2.1, знаходимо

(3.19)

де ‑ деякі точки.

Беручи до уваги, що з (3.18), (3.19) приходимо до формули

(3.20)

тобто до формули Сімпсона з залишковим членом.

Розглянуті квадратурні формули прямокутників (3.3), трапецій (3.7) та Сімпсона (3.17) називаються канонічними.

3.5 Ускладнені квадратурні формули

На практиці, якщо необхідно наближено обрахувати інтеграл (3.1), зазвичай ділять заданий відрізок на рівних частин і на кожному окремому відрізку застосовують довільну канонічну квадратурну формулу, а потім сумують отримані результати. Побудована таким чином квадратурна формула на відрізку називається ускладненою. При застосуванні формул прямокутників та трапецій довжину частинних відрізків зручно обрати за , а при використанні формули Сімпсона ‑ за .

Зупинимося спочатку на застосуванні формули прямокутників. Нехай Позначимо частинні відрізки через де У відповідності з (3.3) вважатимемо

(3.21)

де значення в середині частинного відрізку . При цьому справедлива аналогічна (3.6) рівність

(3.22)

де деяка точка.

Сумування по усім відрізкам приблизної рівності (3.21) приводить до ускладнення квадратурної форми прямокутників:

. (3.23)

Сумування рівностей (3.22) з урахуванням того , що по лемі

де - деяка точка відрізку , дає ускладнену формулу прямокутників з залишковим членом:

(3.24)

Аналогічно при умові, що з використанням формул (3.7), (3.16) отримуємо ускладнену квадратурну формулу трапецій

(3.25)

та відповідну їй формулу з залишковим членом

(3.26)

де ‑ деяка точка.

Нехай тепер , Перепишемо канонічну квадратурну формулу Сімпсона (3.17) застосовуючи її до відрізку довжиною :

Сумуючи ліву та праву частину цього співвідношення від 0 до , отримуємо ускладнену квадратну формулу Сімпсона:

. (3.27).

Відповідна їй формула з остаточним членом , отримана сумуванням по частинним відрізкам рівнянь виду (3.20), за умови , що , така:

(3.28)

де

Введемо такі позначення

(3.29)

де також покладемо

(3.30)

де

Наближені рівності

(3.31)

(3.32)

назвемо відповідно формулами прямокутників, трапецій та Сімпсона, опускаючи слова ”ускладнена квадратурна”.

З виразу остаточних членів в (3.24), (3.26), (3.28) видно, що формули прямокутників та трапецій (3.31) точні для багаточленів першого ступеню, тобто для лінійних функцій, а формула Сімпсона (3.32) точна для багаточленів третього ступеню (для них залишковий член рівний нулю). Похибка формул (3.31) має другий порядок відносно (не краще, якщо неперервна на ), а формула Сімпсона при відповідній гладкості являється формулою четвертого порядку точності. Тому для функцій класу при малому формула Сімпсона зазвичай дає більшу точність, ніж формула (3.31).

Похибка формули прямокутників та формули Сімпсона при обрахуванні інтегралу (3.1) в силу (3.24), ( 3.28) задовольняє нерівностям

(3.33)

(3.34)

Поряд з оцінками похибки зверху корисні оцінки знизу. Так, для похибки формули прямокутника оцінки знизу, що випливає з (3.24), має вигляд:

(3.35)

Приклад. Дослідити похибку квадратурних форм для інтегралу

при .

Маємо

на

Згідно (3.33)‑( 3.35) отримуємо

Формули прямокутників і трапецій окремо поступаються при інтегруванні гладких функцій формулі Сімпсона. Однак, в парі вони мають цінні властивості, а саме : якщо не змінює знак на то формули (3.31) дають двостороннє наближення для інтегралу (3.1), оскільки згідно з (3.24), (3.26) їх остаточні члени мають протилежні знаки.

В розглянутому прикладі Тому

В даній ситуації покладемо

Тоді тобто похибка оцінюється через самі наближені значення інтегралу.