- •1. Інтерполяція
- •1.1. Наближення функцій. Задача інтерполяції
- •1.2 Інтерполяційний багаточлен Лагранжа
- •1.3 Похибка інтерполяції багаточленом
- •1.4.Інтерполяція з рівновіддаленими вузлами
- •1.5.Скінчені та поділені різниці
- •1.6.Інтерполяційний багаточлен Ньютона
- •1.7 Інтерполювання сплайнами
- •2 Числове диференціювання
- •3 Числове інтегрування
- •3.1 Квадратнурні формули
- •3.2 Формула прямокутників
- •3.3 Формула трапецій
- •3.4.Формула Сімпсона
- •3.5 Ускладнені квадратурні формули
- •4 Завдання до розрахункової роботи
- •Завдання 1
- •Завдання 2
- •Список літератури
1.5.Скінчені та поділені різниці
Скінчені різниці. Нехай де - ціле, .
Величина
(1.17)
називається скінченою різницею першого порядку функції у точці (з кроком ).
Величина
(1.18)
називається скінченою різницею другого порядку функції у точці .
Взагалі, скінчена різниця -го порядку функції у точці визначається рекурентним співвідношенням
(1.19)
де .
При обчисленнях скінченні різниці зручно записувати у вигляді таблиці
Розглянемо деякі властивості скінчених різниць.
Лема 1.1. Якщо , то існує така точка , що .
Доведення. При маємо з формули скінчених приростів Лагранжа та з (1.17)
При маємо. Позначимо Тоді згідно (1.18)
і тому за формулою скінчених приростів Лагранжа
(1.20)
Але .
Застосовуючи ще раз формулу скінчених приростів Лагранжа до , маємо
(1.21)
де деяка точка.
З формул (1.20), (1.21) виходить тобто твердження леми при справедливо.
Для лема доводиться аналогічно.
Висновок з леми 1.1. Скінчена різниця -го порядку алгебраїчного багаточлена -го ступеню стала, тобто не залежить від , а скінченні різниці ще вищих порядків дорівнюють нулеві.
Одне з практичних застосувань скінчених різниць полягає у наступному. Згідно леми 1.1, якщо , то величина яку можна обчислити через табличні значення функції за допомогою формули (1.19), дорівнює значенню похідної у деякій точці , де
Тому , якщо мале, то число можна наближено прийняти за величину та використати в оцінці похибки інтерполяції з рівновіддаленими вузлами. Такою нестрогою оцінкою похибки користуються, якщо достатньо складне обчислення похідної , або, взагалі, маємо у розпорядженні тільки табличні значення раз диференційованої функції.
Поділені різниці. Нехай тепер - довільні точки (вузли) осі , причому при .
Значення функції у вузлах називаються поділеними різницями нульового порядку.
Число
(1.22)
називається поділеною різницею першого порядку функції (відповідно точкам ).
Очевидно
(1.23)
тобто поділена різниця першого порядку є симетричною функцією аргументів і .
Поділена різниця -го порядку визначається через поділені різниці -го порядку за рекурентною формулою
(1.24)
При обчисленнях поділені різниці записують у вигляді таблиці
Лема 1.2. Поділена різниця -го порядку може бути подана через вузлові значення функції за формулою
(1.25)
тобто є симетричною функцією своїх аргументів .
Доведення . При твердження леми виходить з рівності (1.23).
При згідно з (1.24) маємо
Для довільного доведення проводиться за індукцією.
Висновок з леми 1.2. Значення поділеної різниці не залежить від порядку нумерації вузлів, за якими вона будується. Всього маємо варіантів нумерації вузлів цілими числами від 0 до .
Лема 1.3. Якщо тобто вузли розміщуються на осі з сталим кроком то між поділеною різницею -го порядку та скінченою різницею -го порядку існує наступний зв’язок:
. (1.26)
Доведення. Для =1 рівність (1.26) виходить з (1.17), (1.23). При довільному доведення проводиться за індукцією. При цьому враховується той факт, що при визначенні кожної наступної за порядком скінченої різниці відбувається згідно (1.19) віднімання попередніх різниць, а при обчисленні наступної поділеної різниці згідно з формулою (1.24) проводиться додаткове ділення на величину Звідси й виникає величина у знаменнику правої частини рівності (1.26).
Лема 1.4. Нехай - мінімальний відрізок, що містить вузли . Тоді існує така точка що
. (1.27)
Доведення . Для вузлів, що розміщені зі сталим кроком, рівність (1.27) безпосередньо виходить з лем 1.1, 1.3.
Доведення у загальному випадку можна здійснити наступним чином. Візьмемо точку та побудуємо поділену різницю -го порядку
З цього виразу можна одержати
Співставимо останнє рівняння з раніш одержаним виразом для похибки та одержимо
Покладаючи тепер , одержимо (1.27).
Висновок з леми 1.4. Поділена різниця -го порядку від алгебраїчного багаточлена -го ступеню має стале значення, що не залежить від вузлів а поділені різниці ще вищих порядків дорівнюють нулеві.
Скінченні і поділені різниці мають різноманітні застосування. Далі розглянемо їх використання для побудови інтерполяційних багаточленів.