- •1. Інтерполяція
- •1.1. Наближення функцій. Задача інтерполяції
- •1.2 Інтерполяційний багаточлен Лагранжа
- •1.3 Похибка інтерполяції багаточленом
- •1.4.Інтерполяція з рівновіддаленими вузлами
- •1.5.Скінчені та поділені різниці
- •1.6.Інтерполяційний багаточлен Ньютона
- •1.7 Інтерполювання сплайнами
- •2 Числове диференціювання
- •3 Числове інтегрування
- •3.1 Квадратнурні формули
- •3.2 Формула прямокутників
- •3.3 Формула трапецій
- •3.4.Формула Сімпсона
- •3.5 Ускладнені квадратурні формули
- •4 Завдання до розрахункової роботи
- •Завдання 1
- •Завдання 2
- •Список літератури
1.3 Похибка інтерполяції багаточленом
Можна записати рівність
(1.9)
де - похибка інтерполяції. Якщо відносно функції нічого не відомо, крім її значень у вузлах інтерполяції, то ніяких корисних висновків відносно зробити неможливо.
Одержимо деякий вираз похибки інтерполяції у припущенні, що тобто - функція неперервна разом зі своїми похідними, ‑ відрізок, що містить усі вузли інтерполяції і точку .
Введемо позначення
(1.10)
ТЕОРЕМА 1.3. Якщо , відрізок містить усі вузли інтерполяції, то для маємо
(1.11)
(1.12)
де деяка невідома точка.
Доведення. Шукаємо у наступному вигляді
(1.13)
де деяка функція, значення якої у вузлах інтерполяції можна задати які завгодно, бо
Зафіксуємо довільне та розглянемо наступну функцію від
(1.14)
Ця функція внаслідок (1.1), (1.9), (1.10), (1.13) дорівнює нулеві при та тобто у всякому випадку у точках відрізку на якому змінюється
За теоремою Ролля дорівнює нулеві не менше ніж у точках інтервалу дорівнює нулеві мінімум у точках цього інтервалу тощо. Таким чином, відшукається хоча б одна точка у якій Звідси та з (1.14), враховуючи, що
одержуємо
Отже,
звідки, у відповідності з (1.13), (1.9) має місце (1.11), (1.12).
З (1.12) одержуємо оцінку похибки інтерполяції у точці :
(1.15)
та оцінку максимальної похибки на усьому відрізку :
де
1.4.Інтерполяція з рівновіддаленими вузлами
Розглянемо особливості побудови інтерполяційного багаточлена Лагранжа у випадку рівномірного розподілу вузлів.
Нехай - вузли інтерполяції, - крок, ‑ задані значення функції причому
Введемо безрозмірну незалежну змінну
Тоді вузлу відповідає
і, окрім того, виконуються співвідношення
При цьому інтерполяційний багаточлен Лагранжа, що відповідає випадку записується у вигляді
У загальному випадку інтерполяційний багаточлен Лагранжа
одержить наступний вигляд:
де
Оскільки
де
залишковий член інтерполяційного багаточлена може бути поданий у вигляді
Зауважимо ,що з означення виходить, що зміні змінної на відрізку відповідає зміна змінної на відрізку
Тому оцінку максимальної похибки інтерполяції на відрізку можна записати у наступному вигляді :
(1.16)
де
Величина не залежить від . Її можна заздалегідь обчислити чи оцінити. Зокрема ,
Враховуючи , що можна зробити висновок , що максимальна похибка інтерполяції на відрізку , тобто
Зауважимо ,що (враховуючи ) при зменшенні кроку вдвічі права частина оцінки зменшиться мінімум у разів.
Виходячи з підсиленої оцінки, що одержується з нерівності (1.16), у яку замість підставлене , вибирають крок таблиці значень функції на відрізку з тим, щоб забезпечити задану точність інтерполяції. При цьому є ще можливість змінювати у деяких границях ступінь інтерполяційного багаточлена. Якщо функція достатньо гладка, то підвищення спочатку, як правило, веде до підвищення припустимого , але, з другого боку, ускладнює інтерполяцію і підсилює вплив неусувних похибок табличних значень. На практиці рідко використовують інтерполяцію з
Зауваження. При заданому вузли інтерполяції що розташовані з кроком , доцільно вибирати з сукупності усіх вузлів заданої таблиці функції так, щоб точка опинилась як можна ближче до середини відрізку . Це пов’язано з тим , що коливання функцій та поблизу середини згаданого відрізку менше, ніж у його кінців (рис 1.1).
Рис. 1.1