3 Числове інтегрування

На практиці рідко вдається обчислити точне значення інтегралу. Наприклад, в елементарних функціях не обчислюється функція Лапласа

яка широко використовується в теорії ймовірностей для обчислення ймовірностей, пов’язаних з нормальним розподілом випадкової величини. Розглянемо деякі числові методи, які використовуються для наближеного обчислення інтегралів.

3.1 Квадратнурні формули

Введемо означення квадратурної формули. Нехай дано визначений інтеграл

(3.1)

від неперервної на відрізку функції .

Наближена рівність

(3.2)

називається квадратурною формулою, що визначається вагами та вузлами , де ‑ деякі числа, ‑ деякі точки відрізку .

Говорять, що квадратурна формула точна для многочленів ступеню , якщо при заміні на довільний алгебраїчний многочлен ступеню приблизна рівність (3.2) становиться точною.

Розглянемо найбільш прості квадратурні формули.

3.2 Формула прямокутників

Припустимо, що , .

Покладемо приблизно

(3.3)

де . Тобто площа криволінійної трапеції, що обмежена зверху графіком функції , апроксимується площиною прямокутника, висота якого дорівнює значенню в середній точці основи трапеції (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Знайдемо залишковий член, тобто похибку формули (3.3). Нехай

(3.4)

Оскільки то згідно формули Тейлора із залишковим членом в формі Лагранжа маємо

(3.5)

де - деякі точки , такі, що

Функція являється первісною для Тому для інтеграла, який стоїть в лівій частині наближеної рівності (3.3), з формули Ньютона‑Лейбніца з урахуванням (3.5) випливає наступне співвідношення

Звідси за допомогою раніш доведеної леми 2.1 отримуємо формулу прямокутників із залишковим членом

(3.6)

3.3 Формула трапецій

Нехай Розглянемо наближену рівність

(3.7)

де тобто інтеграл приблизно замінюється площею заштрихованої трапеції, що показано на рис. 3.2.

Рис. 3.2

Знайдемо залишковий член , тобто похибку формули (3.7). Виразимо і де - функція (3.4), за формулою Тейлора із залишковим членом в інтегральній формі¹:

(3.8)

(3.9)

Згідно (3.8) маємо

(3.10)

Виділимо в правій частині (3.9) доданок та замінимо його виразом (3.10). З урахуванням того, що знаходимо

(3.11)

Перетворимо тепер доданок в правій частині (використовується загальна теорема про середнє).

Теорема 3.1 (Загальна теорема про середнє).

Нехай та на

Тоді існує така точка що

Доведення. Покладемо

(3.12)

Тоді, оскільки то

звідси виходить

(3.13)

Якщо то та в якості можна узяти будь – яку точку з

Якщо то випливає існування такого числа , яке задовольняє нерівність:

(3.14)

(для цього ділимо всі частини (3.13) на ), що

(3.15)

За теоремою про проміжні значення неперервної функції в силу (3.12) , (3.14) знайдеться точка , в якій що разом з рівністю (3.15) доводять теорему.

Тепер, оскільки то за теоремою 3.1

де - деяка точка. Підставляючи отримане в (3.11), приходимо до формули трапецій з залишковим членом

(3.16)