1.6.Інтерполяційний багаточлен Ньютона
Нехай - довільні вузли, що не співпадають і у яких відомі значення функції .
Лема 1.5. Алгебраїчний багаточлен -го ступеню
(1.28)
є інтерполяційним, тобто
(1.29)
Доведення.
По-перше за все зауважимо, що поділені
різниці
є числа (не залежать від
), і тому функція (1.28) дійсно є алгебраїчним
багаточленом
-го
ступеню.
Доведемо (1.29) при .
Маємо
Очевидно
,
Тобто при =1 рівності (1.29) справедливі.
Доведемо (1.29) при
.
Маємо
,
,
При рівності (1.29) доведені .
При довільному натуральному рівності (1.29) доводяться за індукцією.
Багаточлен (1.28) називається інтерполяційним багаточленом Ньютона для нерівних проміжків.
Згідно теоремі єдиності він
тотожно співпадає з інтерполяційним
багаточленом Лагранжа, тобто
Таким чином ми маємо різні записи
інтерполяційного багаточлена. Залишковий
член інтерполяційного багаточлена
Ньютона той же, що і інтерполяційного
багаточлена Лагранжа, тобто всюди в
оціночних рівностях і нерівностях можна
замінити
на
У інтерполяційного багаточлена
Лагранжа видно його явну залежність
від кожного значення функції
Це у багатьох випадках буває корисним.
Але при зміні
інтерполяційний багаточлен Лагранжа
треба будувати заново. У цьому є його
недолік.
Інтерполяційний багаточлен Ньютона (1.28) містить не значення функції , а її поділені різниці. При зміні ступеню у інтерполяційного багаточлена Ньютона треба добавити або відкинути відповідну кількість стандартних доданків. Це зручно на практиці.
Випадок рівновіддалених
вузлів. Нехай
Тоді, враховуючи зв’язок поділеної
різниці із скінченою різницею
і вводячи безрозмірну змінну
інтерполяційний багаточлен (1.28) можна переписати у вигляді
(1.30)
Цей багаточлен називається
інтерполяційним
багаточленом Ньютона для інтерполяції
вперед. У ньому початок
відліку знаходиться у крайньому вузлі
,
а використані скінченні різниці йдуть
у таблиці різниць від
вправо униз. Інтерполяційний багаточлен
(1.30) зручно використовувати на початку
таблиці.
Інтерполяційний багаточлен
з вузлами
,
де
,
має вигляд
(1.31)
і називається інтерполяційним багаточленом Ньютона для інтерполяції назад. У ньому початок відліку розташований у крайньому правому вузлі , а використані скінчені різниці йдуть у таблиці від вправо угору .
Інтерполяційний багаточлен (1.31) зручно використовувати при інтерполяції у кінці таблиці.
Якщо при заданому
у таблиці значень функції
з кроком
маємо достатню кількість вузлів з
кожного боку від
,
то доцільно вузли інтерполяції
вибирати так, щоб точка
опинилась як можна ближче до середини
мінімального відрізку, що містить вузли.
При цьому інтерполяційний багаточлен
можна будувати по-різному.
Найбільш природно задати інтерполяційний багаточлен у вигляді (1.28), де з береться найближчий до вузол, далі за приймається найближчий до вузол, що міститься з протилежного від боку, ніж . Наступні вузли призначаються по черзі з різних боків від , що містяться як можливо ближче до . При такому виборі вузлів доданки, що слідують один за одним у виразі (1.28), як правило, спадають, якщо мале, а невелике.
Можливо також у розглянутому випадку використовувати інтерполяційні багаточлени (1.30), (1.31), а також інтерполяційний багаточлен Лагранжа.
На закінчення зазначимо, що залишковий член багаточлена (1.30) має той же вигляд, що і у випадку інтерполяційного багаточлена Лагранжа з рівновіддаленими вуздами, тобто
а залишковий член інтерполяційного багаточлена (1.31) може бути подано у вигляді
де
‑ похідна від
,
-
деяка точка мінімального відрізку, що
містить вузли інтерполяції
і точку
.
Згідно лемі 1.1, у якій показано,
що
та при умові, що
мале, а функція
достатньо гладка, поточний доданок у
виразі (1.30) інтерполяційного багаточлена
Ньютона приблизно дорівнює похибці
інтерполяції багаточленом, побудованим
з усіх попередніх доданків. Це зауваження
стосується й до інтерполяційного
багаточлена (1.31) для інтерполяції назад.