Типы погрешностей.

Для правильного понимания подходов и критериев, используемых при решении прикладной задачи с применением ЭВМ, очень важно с самого начала признать, что получить точное решение задачи практически невозможно и цель вычислений заключается вовсе не в этом.Основные причины, обуславливающие погрешность решения, заключаются в следующем:

1. Математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса. Характеристики процесса, вычисленные в рамках принятой модели, заведомо отличаются от истинных характеристик, причем их погрешность зависит от степени адекватности модели реальному процессу.

2. Исходные данные, как правило, содержат погрешности, поскольку они либо получаются в результате экспериментов (измерений), либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач.

3. Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными. Найти решение возникающей на практике задачи в виде конечной формулы возможно только в отдельных, очень упрощенных, ситуациях.

4. При вводе исходных данных в ЭВМ, выполнении арифметических операций и выводе результатов на печать производятся округления.

Пусть y–точное значение величины, вычисление которой является целью поставленной задачи, а y^* - получаемое на ЭВМ решение. Соответствующая первым из двух указанных причин погрешность _нy называется неустранимой погрешностью. Единственный способ уменьшить эту погрешность – перейти к более точной математической модели или задать более точные исходные данные.

Погрешность _мy, источником которой является метод решения задачи, называется погрешностью метода, а погрешность _вy, возникающая из-за округлений при вводе, выводе и вычислениях – вычислительной погрешностью. Таким образом, полная погрешность результата решения задачи на ЭВМ

y = y – y^* = _Hy + _My + _By.

Желательно, чтобы величина погрешности метода была на порядок ниже неустранимой погрешности. Большее значение _My заметно снижает точность результата, меньшее – требует увеличения затрат машинного времени, практически не влияя на значение полной погрешности.

Величина вычислительной погрешности в основном определяется характеристиками используемой ЭВМ. Желательно, чтобы величина _By была хотя бы на порядок меньше величины погрешности метода и, во всяком случае, не должна ее существенно превышать.

Приближенные числа. Абсолютные и относительные погрешности.

Пусть а – точное (вообще говоря, неизвестное) значение некоторой величины, а^* - известное приближенное значение той же величины. Ошибкой (погрешностью) приближенного числа а^* называют разность а-а^* между точным и приближенным значениями. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность (а^* ) а – а^*. (3)

Однако по величине абсолютной погрешности не всегда можно сделать правильное заключение о качестве приближения.

Пример. (а^* ) = 0.1.

Если а  0.3, то точность приближения невелика; если же а  310⁸, то очевидно, что точность очень высока.

Для оценки качества приближения вводится понятие относительной погрешности (при а  0) . (4)

Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения. Для приведенного выше примера (а^* )  0.33 = 33% в первом случае и (а^* )  0.3310^-9 = 0.3310^-7% во втором.

Так как значение а, как правило, неизвестно, непосредственное вычисление абсолютной и относительной погрешности по формулам (3) и (4) невозможно. Более реальной задачей является получение оценок погрешности вида

где - известные величины, которые будем называть границами абсолютной и относительной погрешностей. Приближенно можно считать, что

В литературе по методам вычислений часто используется термин «точность». Принято говорить о точности входных данных и решения, о повышении и снижении точности вычислений и т.д. Под повышением точности, как правило, понимается уменьшение погрешности, а под снижением точности – увеличение погрешности. Часто используемая фраза «требуется найти решение с заданной точностью  » означает, что ставится задача о нахождении приближенного решения, принятая мера погрешности которого не превышает заданной величины . О какой погрешности, абсолютной или относительной идет речь, обычно ясно из контекста.

Правила записи приближенных чисел.

Пусть приближенное число а* задано в виде конечной десятичной дроби:

а* = _n_n-1…₀₁₂…_m .

Значащими цифрами числа а* называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева.

Пример. Число а* = 0.0103 имеет три значащие цифры, число

а* = 0.0103000 – 6 значащих цифр.

Значащую цифру числа а* называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример.Если = 210^-6, то число а* = 0.010300 имеет 4 верные значащие цифры

Широко распространенной ошибкой при записи приближенных чисел является отбрасывание последних значащих нулей, даже если они представляют собой верные цифры. Верная цифра приближенного числа, вообще говоря, не обязательно совпадает с соответствующей цифрой в записи точного числа. Пример. Пусть а = 1.00000, а* = 0.99999. Тогда (а*) = 0.00001 и у числа а* все подчеркнутые цифры верные, хотя они и не совпадают с соответствующими цифрами числа а.

Количество верных значащих цифр числа тесно связано с величиной его относительной погрешности. Эту связь можно сформулировать в виде следующих утверждений.

1. Если число а* содержит N верных значащих цифр, то справедливо неравенство а*  10^N-1-1^-1  10^-N+1 .

2. Для того, чтобы число а* содержало N верных значащих цифр, достаточно, чтобы было выполнено неравенство а*  10^N+1^-1  10^-N.

3. Если число а* имеет ровно N верных значащих цифр, то 10^-N-1<а*<10^-N+1 и, таким образом, а*  10^-N (знак  означает равенство порядков величин).

Пример.

Что можно сказать об относительной погрешности числа а*, если оно содержит 3 верные цифры?

В силу утверждения 1 имеем а*< 10^-2 = 1%.

С какой относительной точностью следует найти число а* , чтобы верными оказались 6 значащих цифр?

Из утверждения 2 следует, что достаточно найти а* с относительной точностью   10^-6.

Границы абсолютной и относительной погрешностей принято записывать не более чем с двумя значащими цифрами. Большая точность в записи этих величин, как правило, не имеет смысла, т.к. они обычно являются довольно грубыми оценками истинных значений погрешностей, и кроме того, для практических целей часто бывает достаточно знать только порядок погрешностей.

Тот факт, что число а* является приближенным значением числа а с верхней границей абсолютной погрешности принято записывать в виде

.

Как правило, числа а* и указывают с одинаковым числом цифр после десятичной точки.

Пример.Пусть для числа а* известны приближенное значение а* = 1.648 и граница абсолютной погрешности = 0.002832. Тогда можно записать а= 1.648  0.003.

Тот факт, что число а известно с относительной точностью принято записывать в виде

.

Если число а* приводится в качестве результата без указания величины погрешности, то принято считать, что все его значащие цифры являются верными. Начинающие пользователи ЭВМ часто считают, что вычислительная машина придерживается того же правила. Однако это не совсем так: число может быть выведено с таким количеством значащих цифр, сколько потребует программист заданием соответствующего формата. При этом верных цифр в выводимой записи может не оказаться вообще.

4