Методы численного дифференцирования. Численное дифференцирование.

Численное дифференцирование применяется тогда, когда функцию трудно или невозможно продифференцировать аналитически, например, если функция задана таблицей. Кроме того, формулы численного дифференцирования широко используются при разработке вычислительных методов решения многих задач (решение дифференциальных уравнений, поиск решения нелинейных уравнений, поиск точек экстремума функций и т.д.).

Пусть задана функция f(x), которая в окрестности точки х дифференцируема достаточное число раз. Будем рассматривать набор дискретных значений f_n в узлах одномерной сетки с заданным шагом h (вообще говоря, переменным):

f _n = f (x_n) , x_n = nh (n = 0, ± 1, ± 2, …).

По определению, Таким образом, приближенно Данная аппроксимация будет тем точнее, чем меньше Δх. Естественным образом можно ввести приближенные формулы для вычисления производной с "разностью вперед" (38')

и "разностью назад"

(38'')

Расчеты по формулам (38') и (38'') показывают, что по мере уменьшения h точность расчета улучшается, однако после некоторого значения h начинается падение точности. Это связано с тем, что вычисления в компьютере всегда выполняются с ограниченной точностью; когда h мало, а f₁ и f_-0 отличаются очень слабо (тогда в формулах (38') и (38'') возникает неопределенность вида 0/0, которая может быть большой или малой, в зависимости от соотношения числителя и знаменателя). Отсюда следует, что численное дифференцирование является внутренне неустойчивым процессом в смысле отсутствия определенного предела при h→0 и пользоваться им следует очень осторожно.

Вследствие симметрии формул (38') и (38'') более точной будет аппроксимация производной, равная среднему арифметическому (38') и (38''):

(39)

Величину в правой части этой формулы часто называют центральной разностной производной.

Оценим ошибку полученного приближения. Из разложения функции f(x) в ряд Тейлора (функция предполагается достаточно гладкой) имеем:

(40)

Отсюда видно, что ошибка приближения (39) ~ h².

Еще большей точности можно достичь, используя значения f_n в большем числе точек. Например, вычисления по симметричной 5-точечной схеме проводятся по формуле

Однако следует иметь в виду, что при этом повышение точности достигается за счет значительного увеличения числа операций, использования большего объема машинной памяти и увеличения времени счета.

Складывая с точностью до члена ~h² выражения для f ₁ и f_-1 из формулы (40), получаем приближенную формулу для второй производной с точностью ~h² :

Формулы для производных более высоких порядков можно получить аналогично.

Существуют и другие подходы для вычисления производной, например, кусочно-полиномиальная интерполяция, когда принимают

f ^(k)(x)  P_n^(k)(x) , 0 k n.

Здесь P_n^(k)(x) - интерполяционный многочлен. Полученная таким образом производная в точке "стыка" двух соседних многочленов может иметь разрыв. Поэтому, если требуется глобально на отрезке [a, b] аппроксимировать производную гладкой функцией, то целесообразно использовать сплайны. Производная сплайна дает гладкую глобальную аппроксимацию для f ^(k)(x).

В случае, когда значения функции сильно "зашумлены" случайными ошибками, полезным может оказаться использование метода наименьших квадратов.

21

Численное дифференцирование применяется тогда, когда функцию трудно или невозможно продифференцировать аналитически, например, если функция задана таблицей. Кроме того, формулы численного дифференцирования широко используются при разработке вычислительных методов решения многих задач (решение дифференциальных уравнений, поиск решения нелинейных уравнений, поиск точек экстремума функций и т.д.).