Постановка задачи приближения функций. В13

Интерполяция сплайнами.

Повышение точности приближения гладкой функции благодаря увеличению степени интерполяционного многочлена связано с существенным повышением сложности вычислений. Поэтому на практике предпочитают кусочно-полиномиальную интерполяцию с использованием многочленов невысокой степени. Однако этот способ приближения имеет недостаток: в точках "стыка" двух соседних многочленов производная, как правило, имеет разрыв. Часто это обстоятельство не играет существенной роли. Вместе с тем нередко требуется, чтобы аппроксимирующая функция была гладкой и тогда простейшая кусочно-полиномиальная аппроксимация становится неприемлемой.

Данная проблема привела к появлению в 1946г. так называемых сплайн-функций или сплайнов - специальным образом построенных гладких кусочно-многочленных функций.

Пусть отрезок [a, b] разбит точками a = x₀ < x₁ < … < x_n = b на п частичных отрезков [x_i-1, x_i] .

Сплайном степени т называется функция S_m(x), обладающая следующими свойствами:

1. функция S_m(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со всеми своими производными S⁽¹⁾_m(x), S⁽²⁾_m(x), … , S^(р)_m(x) до некоторого порядка р;

2. на каждом частичном отрезке [x_i-1, x_i] функция S_m(x) совпадает с некоторым алгебраическим многочленом Р_m,i(x) степени т.

Разность т - р между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке [a, b] производной называется дефектом сплайна.

Простейшим примером сплайна является непрерывная кусочно-линейная функция, являющаяся сплайном первой степени (линейным сплайном) с дефектом, равным 1.

Наиболее широкое распространение на практике получили сплайны третьей степени S₃(x) (кубические сплайны) с дефектом, равным 1 или 2. Такие сплайны на каждом из частичных отрезков [x_i-1, x_i] совпадают с кубическим многочленом

P_3,i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)² + d_i(x - x_i)³

и имеют на отрезке [a, b] по крайней мере одну непрерывную производную S'₃(x).

Механическим аналогом такого сплайна является гибкая стальная линейка, поставленная на ребро и зафиксированная в узловых точках.

Пусть функция y = f (x) задана таблицей своих значений

y_i = f (x_i) , i = 0, 1, … , n.

Сплайн S_m(x) называется интерполяционным, если S_m(x) = у_i для всех

i = 0, 1, … , n.

Значение s_i = S'_m(x_i) называется наклоном сплайна в точке x_i.

15 Локальный сплайн. Если в точках x_i известны значения производной y_i' = f (x_i) , то естественно принять s_i = y_i' для всех i = 0, 1, … , n. Тогда на каждом частичном отрезке [x_i-1, x_i] сплайн однозначно определяется значениями y_i-1, y_i, y'_i-1 , y'_i (поэтому его и называют локальным сплайном). Для локального кубического сплайна справедлива следующая оценка погрешности:

,

где - максимальная из длин частичных отрезков.

Дефект данного сплайна равен 2, т.к. для него можно гарантировать непрерывность только первой производной.

Существуют и другие способы выбора коэффициента s_i, приводящие к локальным сплайнам.