2.4.Порядок выполнения работы

1. Составить программу для расчета траекторий.

2. Подобрать 5 вариантов начальных условий таким образом, чтобы траектории движения заряженной частицы не совпадали по форме.

3. Изобразить на графике полученные траектории и указать характерные особенности каждой из них.

4. Составить программу для расчета траектории движения одиночного заряда вблизи “точечного магнитного заряда”.

5. Исходя из анализа полученных уравнений, описывающих движение заряженной частицы в поле точечного магнитного заряда, подобрать начальные условия и построить траектории заряженной частицы.

6. Составить программу для решения задачи о движении заряда в поле точечного магнита методом Рунге–Кутта, используя функцию rkfixed.

7. Используя начальные условия для аналитического решения задачи о движении заряда в поле точечного магнита, рассчитать траекторию численным методом.

8. Определить точность численного метода, сравнивая координаты 5 точек траектории, полученной численным методом с аналогичными точками аналитической кривой.

2.5.Содержание отчета

1. Программа для расчета траекторий по приведенным уравнениям.

2. Начальные условия для 5 подобранных вариантов.

3. Рисунки рассчитанных траекторий.

4. Описание особенностей каждого вида движения.

5. Программа для расчета траектории движения одиночного заряда вблизи “точечного магнитного заряда”.

6. Набор двухмерных графиков траекторий движения заряженной частицы в полярной системе координат r и декартовой системе координат Zr.

7. Трехмерный график траектории движения частицы вблизи “точечного магнитного заряда”.

8. Результаты сравнения траектории, полученной численным методом, с аналитической траекторией.

3.Исследование точности решения полевых задач численным методом

Цель работы – изучение принципов аппроксимации с помощью различных функций, приобретение навыков работы с программами multigrid и relax, входящими в состав MathCAD; изучение возможности применения указанных программ для решения задач, рассмотренных в работе 1.

3.1.Методы аппроксимации базисными функциями

Одним из основных численных методов решения полевых задач является метод конечных элементов (МКЭ) [4], основу которого составляет аппроксимация функций с помощью кусочно-определенных базисных функций:

.

При этом функция  принимает одинаковые с  значения на границе некоторой области , ограниченной замкнутой кривой , а базисные функции {N_m; m  1, 2, 3, ...} выбираются так, что N_m_Ã 0 при любых m.

Метод аппроксимации определяет правило, по которому рассчитываются коэффициенты a_m:

– в методе интерполяции эти коэффициенты выбираются так, чтобы аппроксимирующая функция совпадала с аппроксимируемой функцией  в M различных произвольно выбранных точках области определения функции . При этом получается система, состоя­щая из M линейных уравнений относительно набора параметров {a_m; m = 1, 2, …, M}.

– в методе взвешенных невязок коэффициенты a_m являются решением системы уравнений вида Ka  f, в которой элементы вектора f и матрицы K зависят от выбора системы базисных функций. Наиболее распространенная схема данного метода основана на использовании в качестве весовых множителей самих базисных функций, а в качестве базисных функций – синусоид вида N_m sin (mxL_x) (метод Галеркина). В этом случае элементы матрицы K и вектора f имеют вид

.

В зависимости от выбора системы базисных функций получаются различные модификации метода конечных элементов, в том числе и метод конечных разностей.