- •Введение
- •1.Моделирование систем формирования электростатических и магнитостатических полей аналитическим методом
- •1.1.Расчет электростатических полей в декартовой системе координат методом разделения переменных
- •1.2.Расчет электростатических полей в цилиндрической системе координат методом разделения переменных
- •1.3.Порядок выполнения работы
- •1.4.Содержание отчета
- •2.Моделирование процессов движения заряженных частиц в электрических и магнитных полях в вакууме аналитическими и численными методами
- •2.1.Расчет траекторий заряженных частиц с использованием уравнений движения в форме Ньютона
- •2.2.Расчет траекторий заряженных частиц с использованием уравнений движения в форме Лагранжа
- •2.3.Расчет траекторий заряженных частиц численными методами
- •2.4.Порядок выполнения работы
- •2.5.Содержание отчета
- •3.Исследование точности решения полевых задач численным методом
- •3.1.Методы аппроксимации базисными функциями
- •3.2.Расчет электростатических полей в декартовой системе методом конечных разностей
- •3.3.Задание по работе
- •3.4.Порядок выполнения работы
- •3.5.Содержание отчета
- •4.Моделирование систем формирования магнитного поля численным методом
- •4.1.Основные особенности математической модели, используемой в программе расчета магнитных систем “Тесла”
- •4.2.Расчет магнитостатического поля соленоида
- •4.3.Порядок выполнения работы
- •4.4.Содержание отчета
- •5.Моделирование полевых задач в неоднородных средах с линейными характеристиками
- •5.1.Характеристики ферромагнитных материалов и особенности их учета в магнитостатических задачах
- •5.2.Аналитическое решение задачи экранирования магнитного поля внутри полого шара
- •5.3.Порядок выполнения работы
- •5.4.Содержание отчета
- •6.Моделирование полевых задач в неоднородных средах с нелинейными характеристиками
- •6.1.Итерационный метод решения полевых задач магнитостатики для неоднородных сред с нелинейными характеристиками
- •6.2.Влияние нелинейности характеристики среды на параметры магнитного экранирования.
- •6.3.П орядок выполнения работы
- •6.4.Содержание отчета
- •Список литературы
- •Оглавление
- •Компьютерное моделирование и проектирование электронных приборов
- •197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5
1.Моделирование систем формирования электростатических и магнитостатических полей аналитическим методом
Цель работы – изучение основных методов решения задач электростатики и различных способов визуализации полученных результатов, а также анализ точности решения.
1.1.Расчет электростатических полей в декартовой системе координат методом разделения переменных
В декартовой системе координат решение уравнения Лапласа можно получить методом разделения переменных Для этого будем искать решение в виде
.
Поскольку каждая из функций зависит только от одной координаты, уравнение Лапласа можно представить в виде
или, разделив на XYZ:
. (1.0)
Каждое из слагаемых, входящих в левую часть этого уравнения, является функцией одной переменной – x, y и z соответственно:
F1(x) + F2(x) + F3(x) 0.
В данном случае легко доказать, что каждое из слагаемых – постоянная величина. Для этого достаточно продифференцировать левую часть, например по x:
F1 (x) 0 или F1(x) const.
В результате, уравнение (1.1) распадается на три обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка:
, где kx, ky, kz – постоянные величины, связанные между собой соотношением
. (1.0)
Решение системы дифференциальных уравнений
имеет вид гармонических функций
Решение исходного уравнения Лапласа в виде
(1.0) существенно зависит от выбора параметров kx, ky, kz, два из которых, согласно соотношению (1.2), можно выбрать произвольно. Анализируя связь между kx, ky, kz, необходимо заметить, что, по крайней мере, один из параметров должен быть мнимым числом.
З
Рис. 1.1.
Сечение прямоугольного желоба с
криволинейной крышкой
В данной работе сначала определяется форма крышки для прямоугольного бесконечно протяженного вдоль оси z заземленного желоба (рис. 1.1), которая изолирована от самого желоба и имеет потенциал U0 при условии, что решение уравнения Лапласа совпадает с частным решением при фиксированном значении k.
Для однозначного решения этой задачи необходимо определить одну и только одну точку с координатами (x0, y0), которая лежит на внутренней поверхности крышки и имеет заданный потенциал. Поскольку при данной формулировке задачи потенциал не зависит от координаты z, функция Z должна быть постоянной, что возможно только при условии kz 0.
Тогда частное решение (1.3) должно иметь вид
.
Согласно условию задачи, граничные условия могут быть записаны в виде: 1) U 0 при x 0; 2) U 0 при x a; 3) U 0 при y 0; 4) U U0 при x x0, y y0.
Для выполнения первого и третьего условий достаточно, чтобы A1 B1 0, что приводит частное решение к виду
. (1.0)
Второе условие будет выполнено, если sin kxa 0, что эквивалентно равенству , где n – произвольное целое число. Учитывая соотношение (1.2) для коэффициентов k, получим, что и решение (1.4) преобразуется к виду
.
Из четвертого условия определяем коэффициент A:
и получаем окончательное решение в виде
. (1.0)
Для построения поверхности, все точки которой имеют одинаковый потенциал U0, необходимо решить относительно x уравнение
,
Рис. 1.2. Распределение
эквипотенциальных линий в
сечении
бесконечнопротяженного
прямоугольного желоба
Далее необходимо решить полевую задачу для прямоугольного бесконечно протяженного вдоль оси z заземленного желоба, закрытого плоской крышкой, которая изолирована от самого желоба и имеет потенциал U0 (рис. 1.3).
П
Рис. 1.3. Сечение
прямоугольного желоба с прямолинейной
крышкой
Однако это изменение в корне меняет решение задачи, поскольку ни при каком выборе свободного параметра n, от которого зависит частное решение (1.5), невозможно получить во всех точках поверхности y b одно и то же значение потенциала U0.
Решить возникшую проблему можно, если представить искомую функцию в виде суммы частных решений
, (1.0) обеспечивающей выполнение граничного условия на поверхности y b.
Поскольку разложение (1.6) аналогично разложению функции U(x, b) U0 в ряд Фурье, коэффициенты An могут быть определены путем почленного сравнения обоих рядов.
Разложение прямоугольной функции в ряд Фурье имеет вид
, (1.0) и потому для выполнения граничного условия на крышке желоба необходимо выбирать только нечетные значения параметра n 2p 1.
Сравнивая ряды (1.6) и (1.7), получаем, что для амплитуд должны выполняться соотношения
или .
Подставляя последнее выражение в (1.6), получим окончательное решение задачи:
.