5.2.Аналитическое решение задачи экранирования магнитного поля внутри полого шара

При внесении в магнитостатическое поле полого металлического шара с однородной магнитной проницаемостью  наблюдается эффект статического магнитного экранирования – ослабление внешнего поля во внутренней полости. Кроме ослабления поля во внутренней полости происходит изменение поля в стенках шара и в области, прилегающей к шару снаружи. Изменение поля во всех трех областях можно достаточно просто рассчитать в случае, когда невозмущенное внешнее магнитное поле однородно (например, созданное соленоидом). При этом задача сводится к решению уравнения Лапласа для скалярного магнитного потенциала.

В методе разделения переменных решение уравнения Лапласа в сферической системе координат

ищется в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одной координаты

U(r, , )  R(r) () ().

При аксиальной симметрии зависимость от азимутальной координаты  исчезает и потому

U(r, )  R(r) ().

Подставляя это выражение в уравнение Лапласа и представляя R(r) в аналитическом виде, т. е. в виде ряда по степеням r, можно показать, что частные решения уравнения Лапласа должны иметь вид

, где P_m(cos ) – полиномы Лежандра.

Тогда общее решение может быть представлено с помощью ряда

. (5.0)

Полное решение задачи предполагает определение функции U(r, ) в трех областях: вне шара, внутри ферромагнетика и во внутренней полости.

Если систему координат выбрать так, чтобы ось r совпадала с одной из осей симметрии шара и была параллельна направлению вектора H₀, потенциал однородного магнитного поля (в отсутствие шара) будет иметь вид

U₀ (r, )   H₀z   H₀r cos .

Поскольку возмущающее действие шара на больших расстояниях исчезающе мало, потенциал результирующего поля в бесконечности должен иметь такое же значение. Это естественное для данной задачи граничное условие на бесконечности приводит к тому, что во внешней области для результирующего потенциала U_e в разложении (5.1) можно взять только одно слагаемое с m  1. Учитывая, что P₁(cos )  cos , получим

U_e(r, )  (C₁r  C₂r^–2) cos . (5.0)

Для ферромагнитной области выражение для потенциала должно быть таким же, но с другими коэффициентами:

U_f(r, )  (C₃r  C₄r^–2) cos . (5.0)

Поскольку во внутренней области потенциал во всех точках ограничен, а при r  0 второе слагаемое в разложении (5.1) становится бесконечно большим, третья зависимость U(r, ) не должна содержать слагаемого с r^–2, а потому имеет вид

U_i(r, )  C₅r cos . (5.0)

Для расчета коэффициентов, входящих в выражения (5.2)–(5.4), используются граничные условия на обеих поверхностях полого шара и на бесконечности.

Из условия непрерывности потенциала на поверхностях r  R₁ и r  R₂ следуют равенства

C₁R₂  C₂R₂^–2  C₃R₂  C₄R₂^–2; (5.0)

C₃R₁  C₄R₁^–2  C₅R₁. (5.0)

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к условию непрерывности нормальных составляющих вектора B на внутренней и внешней поверхностях полого шара, что эквивалентно двум равенствам

и , из которых получается еще одна пара уравнений:

C₁R₂  2C₂R₂^–2  _r (C₃R₂  2C₄R₂^–2); (5.0)

_r (C₃R₁  2C₄R₁^–2)  C₅R₁. (5.0)

Поскольку при r   второе слагаемое в (5.2) стремится к нулю и при этом U_e(r, )  U₀ , получаем

C₁r cos   H₀r cos , откуда сразу же находим

C₁  H₀.

Совместное решение уравнений (5.5)–(5.8) для остальных коэффициентов дает следующие выражения:

;

; ;

.

Используя указанные коэффициенты в выражениях (5.2)–(5.4), получим распределение потенциала во всех трех расчетных областях. Это позволит количественно оценить эффект экранирования в зависимости от магнитной проницаемости ферромагнетика _r. Кроме того, полученное решение дает возможность исследовать форму нагрузочных линий, т. е. зависимостей B f(H) от _r для разных точек ферромагнетика. Для проведения такого исследования воспользуемся формулами для расчета составляющих вектора магнитной индукции B:

и .

Подставляя в приведенные формулы выражение для скалярного магнитного потенциала в железе U_f, получим

; (5.0)

.

Наибольший интерес для исследования указанных нагрузочных линий представляют области вблизи точек 1–4 (рис. 5.2), в которых выражения для B_r и B_ выглядят значительно проще, поскольку r равен R₁ либо R₂, а угол  равен 0 либо /2.