- •Закон распределения случайных процессов (зр сп)
- •1. Исходные понятия и определения.
- •Функция распределения случайного процесса
- •Плотность вероятностей случайного процесса.
- •Характеристическая функция случайного процесса
- •Моментные функции случайных процессов
- •Одномерные моментные функции сп.
- •Корреляционная функция сп
- •Взаимная корреляционная функция сп
- •Моментные функции конструктивных сп.
- •Основные классы сп
- •Стационарные случайные процессы
- •Периодические случайные процессы.
- •Случайные процессы второго порядка (Марковские процессы)
- •Аналитические свойства случайных процессов (сп)
- •1 Простейшие преобразования сп
- •Корреляционный анализ линейных систем (лс)
- •Нелинейные преобразования сп
- •Сп с дискретным спектром
- •Сп с непрерывными спектрами
- •Сп с независимыми приращениями (нп)
- •Белый шум (бш)
- •Модели флуктуационных процессов
- •Точечное оценивание вероятностных характеристик случайных величин.
- •Экспериментальное получение характеристик случайного процесса.
Корреляционный анализ линейных систем (лс)
1. Анализ параметрических ЛС.
2. Анализ непараметрических ЛС.
3. Анализ многокаскадных ЛС.
4. Линейные случайные процессы.
1
Вспомним: если есть , отклик и оператор , то тогда между ними существует следующая связь
Классификация систем была приведена в курсе ТПС.
Линейная система – это система, которая удовлетворяет принципу суперпозиции. в этом случае обозначается .
Временная область: 1) дифференциальные уравнения
2) импульсная переходная функция (ИПФ)
По сути ИПФ является решением дифференциального уравнения. Эти характеристики практически всегда можно получить одну через другую.
Дифференциальные уравнения не дают связи между и .
ИПФ напрямую дает связь между и .
, где – отклик ЛС на .
Для непараметрических систем (характеристики не зависят от )
Заданы: вероятностные характеристики воздействия, и требуется найти вероятностные характеристики отклика.
Данная задача может быть решена в полной постановке (в узком смысле – в терминологии закона распределения (ЗР)) или в широком смысле – корреляционная теория. Нахождение ЗР отклика на выходе ЛС в настоящее время отсутствует за исключением нескольких частных случаев.
Мы будем решать эту задачу в рамках корреляционной теории.
Необходимо найти: 1) ; 2) ; 3) ; 4)
Используя свойство МО найдем вышеперечисленные характеристики.
1)
2)
3)
где
Для существования необходимо интегрирование МО и корреляционной функции с весом.
5)
6)
2
Можно ли говорить (на основании полученных результатов), что – ССП (при общей постановке задачи).
В общем случае – нестационарный СП.
При каких условиях может быть ССП.
1) Пусть система является непараметрической
2) Воздействие – ССП
Для решения задачи мы будем использовать полученные ранее формулы
Таким образом система пассивна – МО воздействия и отклика совпадают.
Пассивная система – это система, в которой отсутствуют устройства преобразования энергии.
Произведем замену , , .
Таким образом процесс является стационарным (корреляционная функция зависит от разности )
Замена , , .
– Корреляционное преобразование системы
. Окончательное выражение для нахождения
.
Результирующая формула
.
Проверим, как ведет себя взаимная корреляционная функция
Замена , , ,
в результате замены получим:
.
Таким образом воздействие и отклик являются стационарно связанными СП.
.
Самостоятельно
3
3.1 Последовательная система
Таким образом задача может быть сформулирована несколько иначе
таким образом
Если система является непараметрической то эквивалентная система тоже является непараметрической и определяется:
Выводы: Все результаты, полученные в пп. 1,2 справедливы для последовательной системы. Количество систем в цепочке неважно.
3.2. Параллельные системы
Когда характеристики системы совпадают, то совпадает с корреляционными функциями
Дальнейший анализ: можно предположить, что будет если обе системы непараметрические и воздействие является ССП
4
На вход подается белый шум (БШ) в широком смысле, так как задача решается в рамках корреляционной теории.
Рассмотрим стационарный БШ.
Предположим, что , – интенсивность БШ.
; Для стационарного БШ получим
Если система непараметрическая, тогда – стационарный процесс.
,
с точностью до постоянной совпадает с корреляционным преобразованием системы.
с точностью до постоянной совпадает с импульсной переходной функцией
– часто используется при идентификации системы.
Вспомним, что
, в том случае, когда – БШ – процесс называют линейным СП (ЛСП).
В узком смысле в узком смысле
В широком смысле в широком смысле
ЛСП – это отклик системы при воздействии на нее БШ.
Возникает ряд задач:
1) Если БШ в узком смысле, то что тогда будет? Нахождение ЗР.
2) Каким образом ЛСП можно представить как результат фильтрации БШ линейной системой с ИПФ ? Обратная задача. Задача заключается в нахождении , тогда этот фильтр называют формирующим фильтром.
ЛСП в узком смысле мы рассмотрим позднее.