53

Лекции по курсу ТСП

Закон распределения случайных процессов (зр сп)

1. Исходные понятия и определения.

2. Функция распределения случайного процесса.

3. Плотность вероятностей случайного процесса.

4. Характеристическая функция случайного процесса.

1. Исходные понятия и определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СП: СП называется функция с областью определения и с областью значений , где - пространство элементарных событий, - некоторый промежуток времени, - область действительных чисел.

Часто случайный процесс обозначают как , подчеркивая то, что - является аргументом, а - параметром, т.е. вспомогательной величиной.

Наряду с выше приведенным определением случайного процесса, можно встретить и другое определение: СП – это параметрическое семейство случайных величин.

Если , то СП представляет собой случайную последовательность и называется процессом с дискретным временем. Реализация такого процесса называется временным рядом.

Если не является временем, тогда СП называется случайной функцией.

Зафиксируем поочередное каждую из переменных СП .

Зафиксируем элементарное событие (это равносильно проведению эксперимента) – реализация случайного процесса
Зафиксируем момент времени , – случайная величина. До проведения эксперимента результат неизвестен.

Мгновенные значения СП в фиксированный момент времени представляет собой случайную величину.

3. Если зафиксировать получим одну случайную точку.

Характеристики СП бывают: одномерные (когда ) и двумерные (когда ).

2. Функция распределения случайного процесса

Известно, что в момент времени мы будем иметь СВ функция распределения которой описывается выражением . По аналогии со случайными величинами функция распределения СП имеет вид , таким образом в

общем случае ФР СП может быть записана как – одномерная функция распределения. Следует отметить тот факт, что , следовательно одного момента времени не достаточно для описания СП. Если зафиксировать – моментов времени мы получим набор случайных величин , для которых необходимо найти совместную ФР.

Таким образом, функция распределения случайного процесса определяется следующим образом

Многомерная ФР имеет –переменных из них – аргументов ( ) и – параметров ( ).

Отметим основные свойства ФР

1. Не убывает по каждому аргументу .

2. Непрерывна слева по каждому аргументу .

3. Свойство нормированности заключается в том, что выполняются следующие условия:

   1. , при всех .

   2. , если хотя бы один из аргументов .

4. Свойство симметрии

Другими словами, функция распределения не изменится, переставляя местами аргументы мы переставим и соответствующие этим аргументам параметры.

В общем случае это свойство можно переписать в следующем виде

5. Функция распределения безразмерная функция.

Два СП называются независимыми, если их совместная ФР равна произведению ФР каждой из них

В зависимости от свойств непрерывности мгновенные значения СП могут быть:

• Непрерывными;

• Дискретными;

• Смешанными.