Аналитические свойства случайных процессов (сп)

1. Простейшие преобразования СП

2. Непрерывность СП

3. Дифференцирование СП

4. Интегрирование СП

1 Простейшие преобразования сп

1.1 ,

где , – детерменированние функции; – СП.

Все последующие задачи будем рассматривать в рамках корреляционной теории.

Найдем математическое ожидание (МО) процесса

Найдем

Таким образом

Возникает вопрос может ли быть процесс стационарным случайным процессом (ССП)?

1) МО в общем случае не равно const. В частности, когда , – const, тогда – const.

Возможно, что – const при – const и – const.

2) В общем случае данный процесс является нестационарным

1.2. (линейная комбинация СП)

1.

2.

Частный случай, если все и входящие в сумму процессы некоррелированы корреляционная функция суммы равна сумме корреляционных функций

Процесс такого вида является нестационарным, однако при и процессы – стационарно связанные.

3. Пусть все – некоррелированы

.

Если сумма бесконечна имеет ли смысл рассматривать процесс ? Когда необходимо потребовать, чтобы (Так как в рамках корреляционной теории дисперсия должна быть конечной).

, разложения СП

Каноническое разложение СП (один из видов)

(другой вариант), где – детерминированная функция, – случайная величина (СВ).

Эти канонические разложения ввел академик Пугачев (в его книге описано получения этих канонических разложений).

Функции и называются координатными функциями в канонических разложениях.

1.3. ,

Модуль возникает из-за физического смысла

Если действительная и мнимая часть некоррелированы, то – действительная функция. Таким образом если – действительная, то это не значит, что сам процесс действителен. Процесс будет стационарен, если Re и Im являются стационарно свзанными. Комплексный СП называется гильбертовым если он обладает конечной дисперсией, то есть (Аналогия с ТПС, конечная средняя мощность или процессы с конечной энергией).

Дисперсия характеризует не только размах значений, с точки зрения энергии она характеризует среднюю мощность СП.

2

Функция непрерывна в точке , когда

Последовательность если

Для СВ существует 4 вида сходимости

1. с вероятностью 1

2. по вероятности

3. среднеквадратическая

4. по распределению

Распишем среднеквадратическую метрику

Возникает необходимость в решении предела, что является проблематично. Как уйти от предела? Лоэв решил эту проблему, предложив критерий, названый в его честь.

тогда

Определение СП называется непрерывным при если

(1.1)

Целью является определение свойств МО, через существование (1.1)

Если то в этой точке – непрерывной и по диагонали

если непрерывна в любой точке то процесс называется непрерывным. Этот процесс стохастически непрерывным 1) – непрерывна на диагонали, то есть при ( ) – тоже должна быть непрерывна (по свойствам непрерывных функций).

Таким образом для непрерывности СП необходимо, чтобы непрерывна была и .

1.2) – ССП (условие непрерывности для не нужно, так как )

только при определяет непрерывность СП

1.3) Из того, что является непрерывным не следует что его реализации являются непрерывными функциями.

Пусть все реализации СП кусочно-постоянные, то есть имеют разрыв второго рода.

Такой процесс является непрерывным если точки не являются фиксированными.

Если – не фиксированные, то точки случайным образом расположены на временной оси.

Пример

Процесс не является непрерывным так как его реализации имеют разрыв (всегда) в момент времени .

У случайного процесса доминирующими являются не реализации, а его вероятностные свойства.

3

Определение: Пусть – непрерывный СП, тогда СП называется производной процесса

_{Воспользуемся критерием Лоэва для объяснения условий, которым должна удовлетворять и МО.}

_{Вычислим предел вида}

Для того, чтобы СП был дифференцирован в точке необходимо и достаточно чтобы в этой точке была дифференцируемая его ковариационная функция.

1. Если дифференцируемая в любой точке , то процесс дифференцируемый на всей временной оси.

Вычислим условие которое должна удовлетворять и МО дифференцируемого СП.

2 . Следовательно и должна существовать.

3. – ССП.

4. Если СП является дифференцируемым, то это не значит, что дифференцируемыми являются его реализации.

4

Пусть – комплексный СП.

, где – комплекснозначная функция.

Необходимо узнать условия которым должны удовлетворять характеристики СП , чтобы этот интеграл существовал или имел смысл.

Разбив промежуток времени на точки

,

Если предел при то тогда мы говорим, что существует интеграл от СП.

Согласно критерию Лоэва:

Если при предел существует, то СП – интегрируем. Мы рассмотрим интеграл вида , однако часто необходимо рассматривать

Условие существования такого интеграла

Если – ССП все тоже самое, только

Если весовая функция является спадающей, то ее наличие упрощает требования к ковариационной функции .