Точечное оценивание вероятностных характеристик случайных величин.

1. Точечные оценки.

2. Оценки ЗР.

3. Оценки моментов.

1

Если имеется и имеется ее ФР

1. Известно распределение но

2. – ?

Задача тогда заключается в следующем: проводим раз измерение, в результате получаем .

1. Необходимо найти оценку , .

2. Ошибки.

В первом эксперименте получим

Во втором

В к-ом

Вопрос: а чему равно ?

Т огда моделью эксперимента является вектор с областью возможных значений , – реализация случайной выборки.

, нас интересует , а получаем

1) – функциональное преобразование случайной величины

2) – могут быть зависимы.

Вероятностные характеристики случайной выборки: , но это довольно сложно.

Тогда предполагаем, что ЗР – одинаковы и совпадают с ЗР СВ .

Этим предположением мы не учитываем влияние среды и аппаратуры. 2) Считают, что все – независимы.

На основании этих предположений можно записать

Если известна ФР но не знаем – параметрические методы.

Если мы не знаем ФР – непараметрический метод (хуже изучен).

Если – параметр ( ) точечной оценкой называется любая функция от результатов наблюдения, , где .

Почти не различны термины «статистика» и «оценка».

Задача сводится к нахождению .

1. Метод максимального правдоподобия – параметрический метод.

2. Метод моментов – непараметрический метод.

3. Метод наименьших квадратов.

Предположим, что получили оценку , и соответственно и .

Вопрос: а какую выбрать?

Для выбора соответствующей оценки необходимо проверить свойства этой оценки. Свойства основаны на том, что – СВ.

Тогда для нее есть

Основными свойствами оценки являются:

– несмещенность;

– состоятельность;

– эффективность;

1) Оценка называется несмещенной, если , если оценка смещенная, то смещение определяется как .

Если при , то оценка называется ассимптотичной несмещенной.

2) Оценка называется состоятельной, если она стремится к теоретическому параметру по вероятности.

или , при

В общем случае необходимо знать ЗР оценки.

Согласно Чебышеву , если при , то оценка состоятельна.

3) Пусть построили ряд оценок – все они состоятельны и несмещенные при конечном , то какую оценку выбрать?

Если , то такая оценка называется эффективной. Существует ли вообще эффективная оценка? А если существует, то по какой формуле брать ?

Для ответа на этот вопрос необходимо использовать неравенство Рао-Крамера.

4) Ошибки измерения

Если введем

Е сли – относительная ошибка. Все вышеперечисленные оценки называются точечными, так как .

Бывают оценки и интервальные – доверительный интервал.

Необходимо найти доверительный интервал, который с наперед заданной вероятностью накрывал неизвестный параметр.

Интервал оценки применим при малом числе наблюдений , при . Обычно и получают на базе точечных оценок.

2

2.1 Как оценить вероятность появления СВ, то есть

, .

Оценкой вероятностных характеристик является частота исхода .

Закон распределения СВ – биномиальное распределений (схема Бернулли).

.

1) – оценка несмещенная.

2) – оценка состоятельна.

3) , таким образом дисперсии СВ выражается через значения искомой СВ.

Нижний график для инженера является боле информативным, так как по верхнему графику вероятностям 0 и 1 соответствуют одинаковые значения , а относительная ошибка существенно ??????????.

2 .2 Функция распределения

, .

– количество элементов выборки, которые оказались левее точки . Для реальных вычислений выборку упорядочивают по возрастанию – вариационный ряд.

Формула для оценки ФР.

Таким образом является случайной, нестационарной, стахостически непрерывной.

Для того, чтобы установить, является ли функция дифференцируемой необходимо знать ее корреляционную функцию

Существенным является то, что не всегда будет иметь описанный ранее вид. Однако в случае непрерывной СВ функция не является стохастически непрерывной.

1) 2) Для определения необходимо привязываться к значениям СВ . Реализации будут иметь вид.

2.3. Плотность вероятностей.

, где – число элементов выборки, которые попали в интервал .

, – оценка является смещенной.

Условно оценку плотности вероятностей можно изобразить: .

Есть ряд наблюдений

1. Находим и .

2. – размах варьирования.

3. – число разбиений .

4. Определяем или .

5. Находим .

6. – гистограмма.

Часто под гистограммой подразумевают или .У гистограммы точки по оси являются случайными, и по оси – тоже случайны.

Качество оценки определяется тем, что получая гистограмму нужно учитывать весь возможный набор выборок.

Ряд формул, по которым можно выбирать .

Обычно тыс. .

.

3

, где – элемент случайной выборки

Оценка несмещенная и состоятельна.

– несмещенная.

– оценка состоятельная.

.

Для (ЗР)

Для вычислений, на основании последнего примера, лучше использовать , а не находить дисперсию оценки, так как для ряда ЗР является константой.

, где – число интервалов; – произвольная точка, взятая внутри интервала; – частоты.

Оценка всегда смещенная, состоятельная, не эффективная.

Оценка дисперсии.

– самая хорошая ошибка (несмещенная, состоятельная).

.

Для

Для флуктуационных процессов все кумулянтные коэффициенты рассчитываются достаточно просто.

Если процесс стационарен

Оценка начальных моментов порядка

, свойства этих моментов для не исследованы.