Взаимная корреляционная функция сп
Предположим, что есть
два случайных процесса
и
тогда существует взаимная
корреляционная функция
Взаимная корреляционная
функция характеризует степень линейной
зависимости или связи между мгновенными
значениями двух случайных процессов
и
.
Основные свойства взаимной корреляционной функции.
,
,
,
.
Два случайных процесса
называются некоррелированными, если
их взаимная нормированная и корреляционная
функция равна нулю, т.е.
.
Моментные функции конструктивных сп.
К моментным функциям относятся: математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция.
Рассмотрим детерминированную
функцию
.
Например:
Если хотя бы один из
параметров
представляет собой случайную величину,
тогда процесс
является случайным процессом, который
называется конструктивным
случайным процессом.
.
,
-
случайная величина,
-
элементарный случайный процесс.
Математическое ожидание конструктивного случайного процесса
.
В данном случае вместо корреляционной функции процесса находят ковариационную функцию
Основные классы сп
Стационарные случайные процессы.
Периодические случайные процессы.
Случайные процессы второго порядка.
Стационарные случайные процессы
Среди случайных процессов есть такие, которые ведут себя более или менее регулярно во времени. Регулярность означает, что в среднем все реализации будут себя вести приблизительно одинаково.
Процесс называется стационарны, если его вероятностные характеристики не зависят от начала отсчета.
Другими словами,
вероятностные характеристики процессов
и
,
где
совпадают.
В зависимости от того, какие характеристики рассматриваются, различают два вида стационарности:
в узком смысле;
в широком смысле.
Случайный процесс называется стационарным в широком смысле при одновременном выполнении двух условий:
;
.
Из второго условия
следует
.
Однако на ряду с выше перечисленными видами стационарности можно ввести и промежуточные виды стационарности.
Отметим, что из стационарности в узком смысле следует, что этот же процесс стационарен в широком смысле, но не наоборот.
,
,
где
или
.
Начальные моменты имеют вид
.
Таким образом, все одномерные моментные функции стационарного случайного процесса не зависят от времени.
.
Основные свойства корреляционной функции стационарного случайного процесса.
|
|
Пример 1:
Пример 2:
|
;
;
.
,
,
где
-
огибающая.
Периодические случайные процессы.
Функция
называется периодической, если
Периодичность СП вводится с помощью его вероятностных характеристик.
Различают периодичность:
в узком смысле
в широком смысле
СП
называется периодическим в узком
смысле, если его функция распределения
удовлетворяет условию
СП называется периодическим в широком смысле (периодически коррелированным) при одновременном выполнении условий
1)
2)
|
Учитывая периодичность вероятностные характеристики повторяются с шагом Т. Вывод: любой периодический процесс содержит счетную последовательность вложенных стационарных процессов.
|
При обработке периодических процессов можно использовать все методы, разработанные для стационарных СП.
Т-?
Вывод:
Математическое ожидание и дисперсия периодического процесса могут быть представлены рядом Фурье.
