- •Закон распределения случайных процессов (зр сп)
- •1. Исходные понятия и определения.
- •Функция распределения случайного процесса
- •Плотность вероятностей случайного процесса.
- •Характеристическая функция случайного процесса
- •Моментные функции случайных процессов
- •Одномерные моментные функции сп.
- •Корреляционная функция сп
- •Взаимная корреляционная функция сп
- •Моментные функции конструктивных сп.
- •Основные классы сп
- •Стационарные случайные процессы
- •Периодические случайные процессы.
- •Случайные процессы второго порядка (Марковские процессы)
- •Аналитические свойства случайных процессов (сп)
- •1 Простейшие преобразования сп
- •Корреляционный анализ линейных систем (лс)
- •Нелинейные преобразования сп
- •Сп с дискретным спектром
- •Сп с непрерывными спектрами
- •Сп с независимыми приращениями (нп)
- •Белый шум (бш)
- •Модели флуктуационных процессов
- •Точечное оценивание вероятностных характеристик случайных величин.
- •Экспериментальное получение характеристик случайного процесса.
Экспериментальное получение характеристик случайного процесса.
1. Эргодические СП.
2. Оценка КФ.
3. Оценка спектральной плотности.
1
Пусть имеется СП . Для полного описания его, необходимо найти ФР этого процесса, то есть . Однако нахождение -мерной ФР представляется неразрешимой задачей. Поэтому для его описания используют менее информативные вероятностные характеристики:
В общем случае
, где – СПы (независимые), характеристики которых совпадают с характеристиками исходного СП.
(х)
(хх)
Для использования этих формул необходимо обладать большим набором реализаций .
Предположим, что – ССП:
.
Таким образом формулы (х) и (хх) являются общими для стационарных и нестационарных СП.
.
Рассмотрим ССП. Для него: – постоянная составляющая СП .
Предположим имеется реализация . Как определить постоянную составляющую?
Для детерминированной функции (непериодической)
– может ли быть эта формула оценкой МО по одной реализации?
– по набору реализаций.
тогда .
Тогда при и .
ССП называется эргодическим, если его среднее по ансамблю реализаций совпадает со средним по одной реализации.
Возникает вопрос, а как проверить свойства эргодичности СП?
Необходимо проверить свойства оценки
1) – данная оценка является несмещенной.
2) .
Поскольку, при , то оценка является состоятельной.
.
Таким образом процесс будет эргодическим если его корреляционная функция удовлетворяет следующему условию (необходимо и достаточно).
.
Достаточным является условие при .
Достаточно стационарности в широком смысле.
|
Эргодичность, которую мы сформулировали называется эргодичностью относительно МО. Не все ССП являются эргодическими.
1) – несмещенная оценка. 2) , где .
|
ССП эргодичен относительно моментов при выполнении следующего условия:
.
Стационарность СП в широком смысле уже не удовлетворительна, потому при рассмотрении моментов более высокого порядка необходимо, чтобы процесс был стационарным в узком смысле.
2
– ССП в узком смысле.
Процесс наблюдается на конечном интервале
(1)
Существуют формулы с
Т аким образом
В формуле (1) при центрировании можно использовать либо , либо (во втором случае формулы для ошибок намного усложняются).
На практике предполагают, что .
Оценка является несмещенной.
Таким образом корреляционные функции на хвостах производятся с очень большой относительной ошибкой.
|
Для улучшения качества оценки корреляционной функции , где – корреляционное окно, которое должно удовлетворять всем свойствам корреляционной функции. В литературе рассмотрены не менее 10 корреляционных окон.
|