33. Моделирование динамики стоимости ценных бумаг с помощью стохастических дифференциальных уравнений

Рассмотрим ось Ox, на которой точка x изображает акцию, а координата точки x(t) означает цену акции в момент времени t. Физические размерности: [x(t)]=руб, [t]=мес. Очевидно, что со временем точка х будет перемещаться, так как цена акции изменяется. Функцию x=x(t) будем называть функцией цены акции, множество - пространством цен (пространством Блэка-Шоулса). В простейшем случае функция x(t) подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению:

где X - стохастический процесс, определяемый переходной ф-цией плотности вероятностей . Дадим интерпретацию коэффициенту . Пусть стоимость акции растет на p процентов в месяц, тогда за время цена акции x(t) вырастет на рублей и в момент времени составит рублей. Вычислим скорость перемещения акции в пространстве цен:

В дальнейшем будем рассматривать более общее уравнение

описывающее динамику цены акции.

Уравнение для плотности акций:

где

32. Замена переменных в уравнениях Колмогорова. Формула дифференцирования Ито

формулa дифференцирования Ито стохастического процесса:

Разрешим уравнение относительно x, тогда . Подставим в и представим ф-ции, зависящие от переменной x, как ф-ции переменной z. В результате получ.стохастическое дифф. уравн. в форме Ито для процессa z(t):

где

Вышеизложенное позволяет сформулировать следующее утверждение.

Утверждение. Пусть – марковский стохастический процесс. Рассмотр. процесс где – монотонно возрастающая ф-ция по переменной x, . Тогда процесс также является марковским стохастическим процессом.

Замена переменных в уравнениях Колмогорова

Рассмотрим условную плотность вероятностей марковского стохастического процесса X(t), которая определяется ф-циями из условий сильной непрерывности. Ф-ция подчиняется уравн. Колмогорова

Лемма 1. Если ф-ция удовлетворяет уравн. (2), тогда после замены независимых переменных ф-ция

где

удовлетворяет уравнению Колмогорова

где

Лемма 2. Если ф-ция удовлетвор. уравн. , тогда ф-ция (3) удовлетворяет уравн. Колмогорова

31.Связь задачи Коши для стохастического уравнения с задачей Коши для уравн. Колмогорова.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение общего вида

где – заданные неслучайные ф-ции двух переменных; – марковский стохастический процесс, который определяется переходной функцией , которая в свою очередь определ. ф-циями . Получено уравнение Колмогорова для функции по переменным :

Это означает, что марковский стохастический процесс описывается уравнением параболического типа (2).

Добавим к уравн. (2) начальное условие в момент времени . Получим задачу Коши, обобщающую задачу в .

Задача Коши для стохастического уравнения. Требуется определить условную плотность вероятностей случайного процесса в момент времени при условии, что случ. процесс удовлетвор. уравнениям

в

где – заданная постоянная величина, .

Определяющая задача Коши. Требуется определить условную плотность вероятностей , для которой

,

где оператор определен в в

. При этом должно выполняться условие на бесконечности при которое обеспечивает условие нормировки

Задача Коши (5) является определяющей дифференциальной задачей для марковского стохастического процесса при условии существования неотрицательного решения задачи.