- •3.Классификация уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Системы уравнений с частными производными.
- •4. Замена независимых переменных в уравнениях второго порядка. Уравнение характеристик.
- •5.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •6.Классификация уравнений второго порядка со многими независимыми переменными.
- •10.Корректно поставленные задачи. Корректность задачи Коши для уравнения колебаний струны. Пример Адамара некорректно поставленной задачи Коши.
- •11. Метод интегральных преобразований для решения задачи Коши для параболических уравнений.
- •12.Принцип максимума и минимума для уравнения теплопроводности, следствия. Корректность задачи Коши для уравнения теплопроводности.
- •13. Пространство осн. Ф-й. Обобщенные ф-и и их сво-ва.
- •14. Сингулярные обобщенные функции, -функция Дирака. Обобщенная производная, обобщенные решения уравнений с частными производными.
- •15.Фундаментальное решение уравнений. Фундаментальное решение и решение задачи Коши для уравнения Колмогорова.
- •25. Метод разделения переменных для решения задачи Дирихле в круге. Интеграл Пуассона.
- •Формулы Грина для оператора Лапласа. Интегральная ф-ула Грина для гармонических функций.
- •Свойства гармонических ф-ций. Принцип максимума и минимума для гармонических ф-ций, следствия.
- •Краевые задачи Дирихле,Неймана и 3го рода для элиптческих ур-ний.Спектральная задача для оператора Лапласа.Корректность внутрих и внешнх краевых задач для ур-ия Лапласа и Пуассона
- •33. Моделирование динамики стоимости ценных бумаг с помощью стохастических дифференциальных уравнений
- •32. Замена переменных в уравнениях Колмогорова. Формула дифференцирования Ито
- •Вышеизложенное позволяет сформулировать следующее утверждение.
- •31.Связь задачи Коши для стохастического уравнения с задачей Коши для уравн. Колмогорова.
- •Это означает, что марковский стохастический процесс описывается уравнением параболического типа (2).
- •29 Постановка задач для уравнения денежных накоплений
- •28 Параболические уравнения Колмогорова
- •35. Уравнение Блэка - Шоулса, смешанная задача для функции стоимости опциона.
- •16. Постановка смешанных задач для уравнения колебаний струны. Граничные условия первого, второго и третьего рода, физическая интерпретация.
- •17. Задача ш. – л. Для обыкновенных д у 2 порядка. Свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма - Лиувилля.
- •30. Решение задачи Коши для уравнения денежных накоплений. Стохастические дифференциальные уравнения в форме Ито.
- •26.Динамические моделир. Ден. Накоплений семьи с использ. Стохастических ду.
- •27. Одном-е марковские стохаст-е процессы в моделир-и случ. Денежных накоп-й. Условная плотность вероятностей стохас-го процесса и ее свойства.
- •19.Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в стержне.
- •20. Решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности в стержне, обоснование решения. Корректность первой смешанной задачи
- •21.Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Фундаментальное решение для уравнения Лапласа.
Краевые задачи Дирихле,Неймана и 3го рода для элиптческих ур-ний.Спектральная задача для оператора Лапласа.Корректность внутрих и внешнх краевых задач для ур-ия Лапласа и Пуассона
Рассмотрим ограниченную связную обл DϵRnс граничной поверхностью Г=∂D, охватывающей облD. Пусть для определенности Г . В обл D зададим эллиптическое ур-ие 2ого порядка с достаточно гладкими коэффициентами:L(u)= ij( + i( +a( =f( (16),где =(x1,x2,..,xn) D.Потребуем, чтобы искомая ф-ия u на границе Г:u( =φ( , где φ( -заданная ф-ия на поверхности Г.Задача Дирихле.L(u)=f( (17)в облD, u( =φ( (18),где D-ограниче обл.Требуется найти ф-ию u (D) , которая удовлетворяет ур-нию (17) в обл D и граничн. условию (18) на граничной поверхности Г. Задача Дирихле наз-ся также 1ой краевой задачей. Рассмотрим частный случай задачи(17),(18),когда ур-ние (17) является ур-ием Пуассона в 3-ном пространстве R3с координатами x,y,z, а обл D R3. Внутренняя задача Дирихле.Δu + + =f(x,y,z) в обл D,(19) u(P =φ(P),(20)где D–ограниченная обл. Решение u(M)=u(x,y,z) (D) ,наз-ся классическим решением задачи (19),(20).
Корректность задачи (19),(20),состоящей в следующем: требуется выделить пространство V граничных ф-ий φ,для котрых решение задачи , единственно в пространстве U и непрерывно зависит от граничных ф-ий. Наиболее просто решаются вопросы о единственности и непрерывной зависимости.Т.1.Если решение u (D) задачи Дирихле(19),(20) существует, тогда оно единственно в пространстве u.Т.2.Решение задачи Дирихле (19),(20),в предположении его существования в прост-ве U,непрерывно зависит от граничных ф-ий φ.Т.Шаудера.Пусть в ур-ии (16) коэфициенты аij( ,аi( ,а(x), f( ,m≥0,a(x)≤0, граничная поверхность Г , граничная ф-ия φ( (Г). Пусть выполнено неравенство равномерной эллиптичности ур-ия (17): ij( ≥C , C>0, тогда единственное решение задачи (17),(18) u ). Из теорем следует,что в пространствах U и V задача Дирихле (19),(20) для ур-ия Пуассона поставлена корректно.
Рассмотрим обл D’=R3,внешнюю по отношению к ограниченной обл D R3, наложим условия u(M)->0 при M-> . Внешняя задача Дирихле в R3. Δu=f(x,y,z)(22)в облD’, u(P =φ(P)(23),u(M)=>0 при M-> (24).Требуется найти ф-ию u (D’) , которая удовлетворяет ур-ию (22) в облD’, граничному усл (23) и равномерно->0 на бесконечности. Задача Неймана для ур-ия Пуассона.Рассмотрим ограниченную обл D R3с границей Г .Для обл D поставим краевую задачу для уравнения Пуассона, когда на поверхности Г задана производная функции u. Внутренняя задача Неймана. Δu=f(x,y,z) в D, f ,(25) ,ψ ,(26),где -внешняя единичная нормаль к поверхности Г в точке PϵГ.
Требуется найти ф-ию u (D) , которая удовлетвор ур-ию (25) в обл D и граничному усл(26) на граничной поверхности Г обл D.Задача Неймана называется 2ой краевой задачей. Внутр задача Неймана некорктнa,т.е. не для непрерывнх граничнх ф-ий ψ из(26) решение задачи,а если ,то не единственное Внешняя задача Неймана в R3.Δu=f(x,y,z)в облD’,(29) (30),u(M)=>0 при M-> (31).Т5.Если решение u (D’) внешней задачи Неймана (29)-(31),тогда оно единственно в пространстве U.
9.Метод характеристик. Формула Даламбера для решения задачи Коши для уравнения колебаний струны. Формула Даламбера. Для отыскания решения задачи в , (1)
, , (2)
, , (3)
применим метод характеристик. Метод состоит в приведении исходного уравнения (1) к каноническому виду и нахождении общего решения. Для гиперболического уравнения (1)ур. характ-к имеет вид , а его характеристиками будут: , .
Производя замену переменных , ,приведем уравнение (1) к каноническому виду . Из общего решения имеем . Откуда общее решение однородного уравнения колебаний струны (1)
. (4) Определим неизвестные функции из начальных условий. Подставив (4) в условие (2), получим соотношение . (5)Аналогично, подставляя (4) в условие (3), получаем
, (6)
где - производные по переменной .
Интегрируя равенство (6) по отрезку , получаем второе соотношение:
(7)
Разрешим систему алгебраических уравнений (5), (7), тогда
, .
После подстановки найденных функций в (4) получим формулу Даламбера для решения исходной задачи Коши:
. (8)
Заметим, что найденное решение является классическим, так как для .
В случае неоднородного уравнения колебаний струны решение задачи Коши
,
определяется формулой
, где .
ЗамечаниеПоставленная з. Коши опред. колебанием бесконечной струны, когда концы струны настолько удалены, что практически не влияют на процесс колебания.