- •3.Классификация уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Системы уравнений с частными производными.
- •4. Замена независимых переменных в уравнениях второго порядка. Уравнение характеристик.
- •5.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •6.Классификация уравнений второго порядка со многими независимыми переменными.
- •10.Корректно поставленные задачи. Корректность задачи Коши для уравнения колебаний струны. Пример Адамара некорректно поставленной задачи Коши.
- •11. Метод интегральных преобразований для решения задачи Коши для параболических уравнений.
- •12.Принцип максимума и минимума для уравнения теплопроводности, следствия. Корректность задачи Коши для уравнения теплопроводности.
- •13. Пространство осн. Ф-й. Обобщенные ф-и и их сво-ва.
- •14. Сингулярные обобщенные функции, -функция Дирака. Обобщенная производная, обобщенные решения уравнений с частными производными.
- •15.Фундаментальное решение уравнений. Фундаментальное решение и решение задачи Коши для уравнения Колмогорова.
- •25. Метод разделения переменных для решения задачи Дирихле в круге. Интеграл Пуассона.
- •Формулы Грина для оператора Лапласа. Интегральная ф-ула Грина для гармонических функций.
- •Свойства гармонических ф-ций. Принцип максимума и минимума для гармонических ф-ций, следствия.
- •Краевые задачи Дирихле,Неймана и 3го рода для элиптческих ур-ний.Спектральная задача для оператора Лапласа.Корректность внутрих и внешнх краевых задач для ур-ия Лапласа и Пуассона
- •33. Моделирование динамики стоимости ценных бумаг с помощью стохастических дифференциальных уравнений
- •32. Замена переменных в уравнениях Колмогорова. Формула дифференцирования Ито
- •Вышеизложенное позволяет сформулировать следующее утверждение.
- •31.Связь задачи Коши для стохастического уравнения с задачей Коши для уравн. Колмогорова.
- •Это означает, что марковский стохастический процесс описывается уравнением параболического типа (2).
- •29 Постановка задач для уравнения денежных накоплений
- •28 Параболические уравнения Колмогорова
- •35. Уравнение Блэка - Шоулса, смешанная задача для функции стоимости опциона.
- •16. Постановка смешанных задач для уравнения колебаний струны. Граничные условия первого, второго и третьего рода, физическая интерпретация.
- •17. Задача ш. – л. Для обыкновенных д у 2 порядка. Свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма - Лиувилля.
- •30. Решение задачи Коши для уравнения денежных накоплений. Стохастические дифференциальные уравнения в форме Ито.
- •26.Динамические моделир. Ден. Накоплений семьи с использ. Стохастических ду.
- •27. Одном-е марковские стохаст-е процессы в моделир-и случ. Денежных накоп-й. Условная плотность вероятностей стохас-го процесса и ее свойства.
- •19.Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в стержне.
- •20. Решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности в стержне, обоснование решения. Корректность первой смешанной задачи
- •21.Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Фундаментальное решение для уравнения Лапласа.
25. Метод разделения переменных для решения задачи Дирихле в круге. Интеграл Пуассона.
Н а плоскости с координатами рассмотрим круг радиуса , описанный вокруг начала координат . Граница круга – окружность (рис.4.4). Для круга сформулируем внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа: в области , (4.34). ,(4.35)
где - заданная функция на окружности .
Рис. 4.4 Требуется найти решение .
В полярных координатах : , задача (4.34), (4.35) запишется в виде
, (4.36).
(4.37)
Задачу (4.36), (4.37) решим методом разделения переменных в полярных координатах. Согласно методу разделения переменных, найдем все решения уравнения Лапласа (4.36) вида . (4.38).Подставив (4.38) в уравнение (4.36), получим равенство
Разделим это равенство на , отделяя функции зависящие от и функции зависящие от , тогда
.Выражение слева зависит только от , а выражение справа - только от , поэтому это равенство имеет место тогда и только тогда, когда эти выражения являются постоянными, то есть где - постоянная разделения. В результате получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: , (4.39). Рассмотрим случай, когда . Общие решения уравнений (4.39) определяются формулами , , (4.40) где - произвольные постоянные. Рассмотрим случай, когда Уравнения (4.39) примут вид Запишем общие решения этих уравнений: , , (4.41) где - произвольные постоянные. После подстановки функций (4.40), (4.41) в (4.38) получим частные решения уравнения Лапласа в полярных координатах:
, (4.42). По смыслу задачи (4.36), (4.37) решение должно быть периодическим по углу с периодом , то есть . Условие периодичности для функций (4.42) будет выполнено, если . В результате получим последовательность частных периодических решений уравнения (4.36):
, .(4.43)
Образуем общее решение уравнения (4.36) в виде линейной комбинации частных решений (4.43):
.
По смыслу задачи решение должно быть ограниченным в центре круга . В связи с этим необходимо положить В результате получим представление решения задачи (4.36), (4.37) в виде разложения в ряд .(4.44)
Неизвестные коэффициенты определим из граничного
условия (4.37). Подставляя (4.44) в (4.37), получим (4.45). Разложим функцию в ряд Фурье , (4.46) где
(4.47). Приравнивая ряды (4.45) и (4.46), вычисляем коэффициенты .
Подставив коэффициенты в разложение (4.44), получим решение исходной задачи Дирихле (4.34), (4.35): (4.48). Можно показать, что если граничная функция и , то ряд (4.48) равномерно сходится и . Если подставить интегралы (4.47) в (4.48) и просуммировать ряды, то получим решение задачи Дирихле для круга в виде интеграла
,
называемого интегралом Пуассона.
Аналогично показывается, что решение внешней задачи Дирихле для круга в области определяется рядом
.