1.Предмет дифференциальных уравнений с частными производными. Историческое развитие исследований уравнений с частными производными, их использование в методах математического моделирования реальности. Современное состояние науки.

При математ. моделировании различных явлений получ-ся ДУ, в кот. входит неизвестная ф-ция, зависящая от многих независимых переменных и, следоват., ур-ние, поскольку оно явл-ся ДУ, содержит частные производные от неизвестной ф-ции. Т.к. почти все физич. явления описыв-ся ДУвЧП, то часто в тех случаях, когда ДУ описывает физич. процесс , эти ур-ния наз-ся ур-ниями мат. физики. Однако надо иметь в виду, что ДУвЧП опис-ся не только физич., но и химич.,биологич. и экономич. процессы и явления. Типичный пример – ур-ние теплопроводности.

Большой вклад в развитие ДУвЧП внесли многие математики мира. Для решения задач ДУвЧП были созданы новые разделы: функциональный анализ, теория обобщенных ф-ций, теория новых функциональных простр-в. Отметим самые известные имена в истории развития ДУвЧП.

И.Г.Петровский положил начало развития общей теории линейных систем в частных производных, а также их классификацию. С.Л.Соболев ввел новое понятие – обобщенное решение дифф. ур-ния; им были введены и изучены новые функциональные пространства.

Исследования в области ДУвЧП идут в двух направлениях. С одной стороны: создается общая теория ДУвЧП, т.е. для общих ур-ний и граничных условий изучаются вопрося существования решений , их единственность и устойчивость. С другой стороны: существует много ДУвЧП, описывающих те или иные физические или биологические явления, решения которых нужно изучить при различных граничных условиях, в том числе изучить качественные свойства этих решений.

2.Основные понятия об уравнениях с частными производными. Классические решения простейших уравнений с частными производными. Общее решение гиперболических уравнений второго порядка с двумя переменными. Рассмотр. n-мерное евклидово простр-во если x , то она имеет координаты x=x(x1,…,xn). Пусть . В этой обл. рассмотрим ф-цию u=u(x)=u(x1, …xn).

Опр. Множ-во ф-ций ( наз-ся простр-вом m раз непрер-диффер ф-ций на обл Ω, т.е. u ( , то это значит, что на обл.Ω сама ф-ция определена и непрерывна, а также существ и непрер все её частные производн на обл Ω до порядка n включительно.В случае m= имеем простр-во любое число раз непрер-диффер ф-ций.

Рассмотр произв ф-цию F(x1,..,xn,z1,…,zn) .Будем предполагать, что существ и непрер частн производн: ≠0.

Опр.Диффер ур-нием с частн производн относит ф-ции u=u(x) будем назыв рав-во: F(x,u, .(1)

C помощью ф-ции F введем диффер оператор L он действует на ф-цию u:

L[u]= F(x,u, .Т.о. в результате действия оператора L на ф-цию u получаем непрерывную ф-цию.Тогда ур-ние (1)можем записать в виде: L[u]=0.

Опр.Классическим решением ур-ния(1)на обл Ω назыв такую ф-цию u ( , кот при подстановке в рав-во (1) обращает его в верное тождество.

Из записи (1) что в ур-ние (1) входит производная со старшим порядком m. Поэтому будем говорить, что порядок ур-ния равен m, или степень оператора L равна m.

Ур-ние (1) иногда можно записать в виде: L[u]=f(x).Такое ур-ние назывюлинейным ур-нием с частнами производнами, если для оператора L выполнены условия линейности:

L[αu]=αL[u], α u ( (2)

L[u1+u2]=L[u1]+L[u2] (3)

Утвержд.Любое линейн ур-ние с частн производн порядка m имеет вид:

=f(x) (4)

Т.е.L[u]= , k-мультииндекс с координ k=(k1,k2,…,kn); |k|=k1+k1+…+kn.

Если в ур-нии (4) ф-ция f(x)=0, то такое ур-ние наз-ся однородным, в противн случ неоднородным.

3.Классификация уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Системы уравнений с частными производными.

L[u]= + + + + +c(x,y)u=f(x,y) (6)

Для классификации ур-ний введем в рассмотрение вспомогат ф-цию:D(x,y)= - -дискриминант ур-ния (6).

Опр. В зависимости от дискриминанта ур-ние (6) наз-ся:

1)гиперболическим в т.( , ) , если D( ,

2)параболическим в т.( , ) , если D( ,

3) эллиптическим в т.( , ) , если D( ,

Графически ур-ние D( , определ некот кривую l,кот может делить обл Ω на 2 подобл , где D>0 и D<0 соотв, тогда на ур-ние (6) гиперболич типа, на - эллиптич типа, на l –параболич типа.В этом случае будем говорить, что на всей обл Ω ур-ние (6) смешанного типа. Тогда обл - обл эллиптичности , линия l-линияпараболичности.

Пример: 1)ур-ние колебаний струны:

- =f(t,x)

2)одномерное ур-ние теплопроводности:

- =f(t,x)

3)ур-ние Пуассона:

+ =f(t,x)

Системы. Рассмотр kнеизвестных ф-ций , и k вспомогательных ф-ций ,…, ,обладающих св-вами аналогичными св-вам ф-ции F.

Опр. Системой ДУ с частными производными относит kнеизвестных ф-ций (i=1,2,…,k) наз-ся k ур-ний:

)=0

… (1.9)

)=0

Сис-ма ур-ний (1,9) линейная, если

, где

Классификация систем проводится аналогично как классификация уравнений.

4. Замена независимых переменных в уравнениях второго порядка. Уравнение характеристик.

L[u] = =f (6)

Будем считать, что ур-ние(6) имеет достаточно гладкие коэф. Поставим задачу об упрощении ур-ния(6) с помощью замены переменных. Введём новые независимые перемен. и η:

(9)

Будем считать, что преобразование (9) невырожденное, т.е. якобиан перехода отличен от нуля:

I = ,

grad , grad 0. Выразим производ. по старым перемен. ч/з производ. по новым перемен.

Подставим получ. знач. произод. в ур-ние(6). После приведения подобных в новых независимых перемен. и ур-ние (6) примет вид:

[u] = +2 + u= (11)

= +2 (12)

Утверждение 2. При невырожденном преобраз. (9) тип ур-ния (6) сохраняется. Д-во: справедливость вытекает из того, что дискрименант нового ур-ния (11) = = , D – дискрименант ур-ния(6). Значит сравнения с нулём дисерим. D и совпадают.

Выберем замену(9) так, чтобы преобразованное ур-ние(11) имело более простой вид. С решением этой задачи тесно связано обыкновенное дифферен. ур-ние:

(x,y) (13) – характеристическое ур-ние(6) или ур-ние характеристик.

Разрешая ур-ние(13) получаем:

Ур-ние(13) часто называют ур-нием характеристик в дифференциалах. С этим ур-нием тесно связано нелинейное диф. ур-ние 1-го порядка с частными производ.

(14), – неизвестная ф-ция. Ур-ние(14) также наз-ся ур-нием характеристик или ур-нием характеристик в частных производ. Если удаётся найти 2 лин.-независимых решения ур-ния характеристик(13) или (14) то тем самым будет найдено невырожденное преобразов.(9) кот упрощает вид ур-ния(11). Из курса обыкновенных диф. ур-ний известно, что у обыкновен. диф. ур-ния(12) сущ. 2 линейно-независим. решения если D>0, одно независим. решение, если D=0 и комплекснозначное решение если D<0. Поскольку коэф. , , действительны, то их действ. и мнимая части этого комплекснозначного решения будут решениями(ЛНЗ) ур-ния в частных производ.(14).