- •3.Классификация уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Системы уравнений с частными производными.
- •4. Замена независимых переменных в уравнениях второго порядка. Уравнение характеристик.
- •5.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •6.Классификация уравнений второго порядка со многими независимыми переменными.
- •10.Корректно поставленные задачи. Корректность задачи Коши для уравнения колебаний струны. Пример Адамара некорректно поставленной задачи Коши.
- •11. Метод интегральных преобразований для решения задачи Коши для параболических уравнений.
- •12.Принцип максимума и минимума для уравнения теплопроводности, следствия. Корректность задачи Коши для уравнения теплопроводности.
- •13. Пространство осн. Ф-й. Обобщенные ф-и и их сво-ва.
- •14. Сингулярные обобщенные функции, -функция Дирака. Обобщенная производная, обобщенные решения уравнений с частными производными.
- •15.Фундаментальное решение уравнений. Фундаментальное решение и решение задачи Коши для уравнения Колмогорова.
- •25. Метод разделения переменных для решения задачи Дирихле в круге. Интеграл Пуассона.
- •Формулы Грина для оператора Лапласа. Интегральная ф-ула Грина для гармонических функций.
- •Свойства гармонических ф-ций. Принцип максимума и минимума для гармонических ф-ций, следствия.
- •Краевые задачи Дирихле,Неймана и 3го рода для элиптческих ур-ний.Спектральная задача для оператора Лапласа.Корректность внутрих и внешнх краевых задач для ур-ия Лапласа и Пуассона
- •33. Моделирование динамики стоимости ценных бумаг с помощью стохастических дифференциальных уравнений
- •32. Замена переменных в уравнениях Колмогорова. Формула дифференцирования Ито
- •Вышеизложенное позволяет сформулировать следующее утверждение.
- •31.Связь задачи Коши для стохастического уравнения с задачей Коши для уравн. Колмогорова.
- •Это означает, что марковский стохастический процесс описывается уравнением параболического типа (2).
- •29 Постановка задач для уравнения денежных накоплений
- •28 Параболические уравнения Колмогорова
- •35. Уравнение Блэка - Шоулса, смешанная задача для функции стоимости опциона.
- •16. Постановка смешанных задач для уравнения колебаний струны. Граничные условия первого, второго и третьего рода, физическая интерпретация.
- •17. Задача ш. – л. Для обыкновенных д у 2 порядка. Свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма - Лиувилля.
- •30. Решение задачи Коши для уравнения денежных накоплений. Стохастические дифференциальные уравнения в форме Ито.
- •26.Динамические моделир. Ден. Накоплений семьи с использ. Стохастических ду.
- •27. Одном-е марковские стохаст-е процессы в моделир-и случ. Денежных накоп-й. Условная плотность вероятностей стохас-го процесса и ее свойства.
- •19.Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в стержне.
- •20. Решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности в стержне, обоснование решения. Корректность первой смешанной задачи
- •21.Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Фундаментальное решение для уравнения Лапласа.
35. Уравнение Блэка - Шоулса, смешанная задача для функции стоимости опциона.
В финансовом обеспечении экономической деятельности предприятий важную роль играют производные ценные бумаги, в основе которых лежит определенный актив.
Пусть имеются два момента времени и , где - текущий момент времени, - некоторое фиксированное время в будущем. Пусть - цена акции в момент времени Напомним, что колл-опцион – соглашение в момент времени о том, что покупателю предоставляется право купить акцию с ценой в определенный момент времени в будущем по согласованной договорной цене . При этом необходимо заплатить цену опциона ( - функция цены акции и времени ).
Считается, что цена акции в момент времени является известной величиной, а в последующие моменты времени вплоть до – случайной величиной. Представим уравнение в форме Ито: .(7.68)
Этот факт необходимо учитывать при определении функции .
Очевидно, что , так как если , то опцион платить нет смысла, а сразу можно купить акции по цене . Очевидно также, что . (7.69)
Так как функция зависит от параметров , , то в развернутом виде .
Ф. Блэк и М. Шоулс [12] для определения функции предложили параболическое уравнение с частными производными. Это уравнение имеет вид
, (7.70)
где - волатильность акций; - безрисковая процентная ставка.
Очевидно, если моменты времени и совпадают , тогда при . В результате
(7.71)
Таким образом, получено окончательное выражение для цены опциона , представленное интегралами вероятностей.
Для вычисления стоимости пут-опциона необходимо начальное условие (7.71) заменить на начальное условие
и решить соответствующую краевую задачу.
34. Уравнение для плотности распределения акций в пространстве цен и смешанная задача для него. Стохастическое дифференциальное уравнение для стоимости акции. Рассмотрим ось на которой точка изображает акцию, а координата точки означает цену акции в момент времени . Физические размерности: , . Очевидно, что со временем точка будет перемещаться, так как цена акции изменяется. Функцию будем называть функцией цены акции, множество П - пространством цен (пространством Блэка-Шоулса). В простейшем случае функция подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению
, , (7.1) В дальнейшем будем рассматривать более общее уравнение
, (7.2) описывающее динамику цены акции. Дифференциальное уравнение для пакета акций. Уравнение (7.2) описывает динамику цены отдельной акции. Предположим, что имеется акций, цена которых описывается одним и тем же уравнением (7.2). Так как акции одного сорта продаются в различных условиях, то их цены в фиксированный момент времени могут различаться. Это означает, что акции некоторым образом распределены по оси Поместим на оси точек. Координата каждой точки (акции) означает цену, по которой данная акция была приобретена к моменту времени На оси рассмотрим достаточно малый интервал длины , и пусть – число точек (акций) на отрезке в момент времени
Введем функцию , (7.3) где - функция плотности распределения акций на положительной части оси (плотность акций). Размерность . Понятно, что - число акций, приобретенных по ценам в пределах отрезка к моменту времени Имеем . (7.4) Смешанная задача для уравнения плотности акций
Предположим, что в начальный момент времени акции распределены на полуоси и известна функция плотности их распределения . Требуется определить плотность акций из уравнения (7.14) в последующие моменты времени .Для этого решим следующую смешанную задачу для полубесконечного пространства : в , (7.17)
, , (7.18)
, , (7.19) где , , . Получим решение исходной задачи (7.17)-(7.19):
, (7.22)
где .