22. Формулы Грина для оператора Лапласа. Интегральная ф-ула Грина для гармонических функций.

Введем в рассмотрение оператор Лапласа Δ по формуле: Δu= + +...+ . Уравнением Лапласа будем называть ур-ние: Δu=0(1), заданное в некоторой обл Ω≤‌‌‌‌‌‌‌Rⁿ. Г= Ω-граница обл Ω. Ф-цию u будем называть гармонической на обл Ω,если она принадлежит классу С²(Ω) и удовлетворяет ур-нию (1) на обл Ω. Если Ω неограничена(т.е. включает в себя бесконечно удаленную точку), то добавляется требование u(M) 0.

Рассмотрим формулы Грина, связывающие значения ф-ции u на границе Ω со значениями ф-ции u на облΩ. Рассмотрим 3ех мерный случай.Из теории векторных полей, имеем Δu=div(grad u). div(a )=a div +(grad a, (2). В (2) будем считать a=v(x,y,z), =grad u(x,y,z). Тогда (2) примет вид div(v∙grad u)=v∙Δu+(grad v,grad u). Проинтегрируем это равенство по облΩ: iv(v∙grad u)dV= V∙Δu+(grad v,grad u))dV. Применим формулу Остроградского, где n-внешняя единичная нормальная поверхность Г,получим: iv dV= , )ds. По свойству скалярн произведения: (grad u, )ds= vΔu+(grad v,grad u)) dV. ds= vΔu+(grad v,grad u))dV(3)-1-ая формула Грина

Поменяем местами в (3)ф-ии u и v ds= uΔv+(grad u,grad v))dV(*). Вычтем (3) из (*): )ds= uΔv-vΔu)dV(4) -2-ая формула Грина.

Положим, что в (3) u и v совпадают: ds= uΔu+|grad u|²)dV(5)-3-ья формула Грина

Восстановим значения гармонической ф-ции u на обл Ω через ее значения на границе Г. Для этого убедимся,что ф-ция v(M)=1/r, r=|MM₀|(6),удовлетворяет 3ехмерному ур-нию Лапласа(1),(M₀(x₀,y₀,z₀)-фиксированная точка)за исключением т.М₀. Решением (6) 3ехмерн ур-ния Лапласа называют фундаментальным решением.Попытаемся восстановить значения ф-ции u в некоторой т.М₀ обл Ω через ее значения на границе Г. Чтобы положить во 2-ой ф-ле Грина v(M)=1/4πr (7)-решение 3мерного ур-я Лапласа, мы исключим точку М₀,описав вокруг нее сферу Г_ε радиуса ε и рассмотрим обл Ω_ε,заключенную между поверхностями Г и Г_ε. ОчевидноΩ_ε Ω. Поскольку(7)-гармоническое ур-ние на всей обл Ω_ε,то можем применить к этой обл 2-ую формулу Грина(4),при этом поверхностный интеграл должен браться по всей поверхности,ограниченной обл Ω

)ds+ )ds=- dV.

Вычислим поверхностный интеграл по сфере Г_ε для этого вычислим = )=- = ,тогда |_Г2=

)ds= ds= ds= s(P*-некотрая точка просранства Г_ε)=u(P*). ds= ds= |_p* s= | , * Г_ε.Тогда )ds+u(P*)-ε =- dV,переходим к пределу при ε→0 )ds +u(M₀)=- dV, u(M₀)= )ds- получили формулу,справедливую для любой,достаточно гладкой ф-ции u.

Если ф-ция u является гармонической u(M₀)= )ds (8)-интегральная формула Грина позволяет восстановить значения ф-ции u в любой т.М₀ через ее значения на границе Г

22. Свойства гармонических ф-ций. Принцип максимума и минимума для гармонических ф-ций, следствия.

Св-во1.Пусть u(x,y,z)-гармоническая ф-ия в области D,тогда ф-ция u любое число раз непрерывно дифференцируема по координатам x,y,z в области D,то есть u (D).

Св-о 2.(Теорема о нормальной производной).Пусть любая ф-ция u (D) и является гармонической в области D,

Тогда dS_p=0,Г=∂D.

Св-во 3. Т-ма о среднем. Пусть u-гармоническая ф-ция в обл D, тогда для M D и сферы , D, имеет место формула u(M)= (P)dS_P (4.13),где | |=4 a²-площадь сферы.

В плоском случае имеем формулу u(M)= (P)dl_P*

Рассмотрим связную ограниченную область D R³с границей Г=∂D. Будем считать для определенности, что Г С.В обл задана ф-ия u=u(x,y,z)=u(M).

Св-во4.Принцип максимума и минимума. Пусть u (D) и удовлетворяет в обл D ур-нию Лапласа Δu=0.Тогда ф-ция u достигает своего максимального и минимального значений на границе Г, т.е. (M) ≤u( )≤ (M).

Следствие 1.Пусть ф-ции u,v (D) и являются гармоническими в D. Если u(P)≥v(P) для PϵГ, то u(М)≥v(M) для M .

Следствие 2. Пусть функции u₁,u₂,u₃ (D) ) и явл-ся гармоническими в D. Если u₁(P)≤u₂(P)≤u₃(P) для P Г,то u₁(М)≤u₂(М)≤u₃(М) для M

Следствие 3. Пусть ф-ии u,v (D) и являются гармоническими в D. Если |u(P)|≤v(P) для PϵГ, то |u(М)|≤v(M) для M .

Следс.4. Пусть ф-ия u (D) и является гармонической в D. Если |u(P)|≤ε, ε=const, для PϵГ, то |u(М)|≤ε для M .