27. Одном-е марковские стохаст-е процессы в моделир-и случ. Денежных накоп-й. Условная плотность вероятностей стохас-го процесса и ее свойства.

Пусть конкретная семья к моменту времени t накопила общую сумму денег x(t), t измеряем в месяцах, x – в рублях. В рассмотр. введём про-во R изображ. На оси Ox каждую семью будем изображать на R точкой, координата которой соотв. денежным накоплениям семьи. Про-во R с такой физической интерпретацией будем называть пр-вом денежных накоплений и обозначать . Отриц. Значения в интерпретируем как как долг. Помимо гарантированных накоплений, семья может иметь случайные накопления, которые будем рассматр. как одномерную случ. величину X. Представим, что некоторый прибор выбрасывает точку X на ось Ox случ. образом, но по некоторому внутреннему правилу. Поэтому в нек. местах точка Х встречается чаще чем в других.

1. x

X

Координата х выбрасываемой т. о. точки назыв. случ. величиной, обозн. X. Однако сама координата не задаёт свою величину. Для задания случайной величины введем функцию плотности распределения вероятностей со следующими свойствами:

- определена при ,

,

(1)

Таким образом, случайная величина определена, если задана плотность вероятностей . Физически плотность вероятности имеет след. смысл: означает вероятность того, что случайная величина x попадает на отрезок , то есть денежные накопления семьи находятся в пределах от a до b. В реальности денежные накопления семьи непостоянны. Поэтому плотность распределения случайной величины . В этом случае имеем стохастический процесс x(t), что значит, что в данный момент времени t случайная величина x(t) имеет свою плотность. Введем еще два параметра y и s :

, (2)

где y означает значение случ. величины x(s), которое она приняла в предыдущий момент времени s; x означает значение случайной величины x(t), которое она примет в последующий момент времени t.

Опр. Функция (2) называется переходной функцией плотности вероятностей или условной плотностью вероятностей стохастического процесса X(t).

Опр. Стохастический процесс называется марковским, если для любых выполнено тождество Маркова- Колмогорова-Чепмена: (3)

В дальнейшем будем рассматривать стохастические процессы, для которых выполнены следующие условия при и :

(4)

Условия (4) называются условиями сильной непрерывности марковского процесса, а процесс называется диффузионным.

19.Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в стержне.

На плоскости с координатами выделим область .В области рассмотрим уравнение теплопроводности , (1) где - искомая функция в области . Уравнение (1) называется также одномерным уравнением теплопроводности.

Для параболического уравнения (1) поставим смешанные задачи первого, второго и третьего рода, наложив на функцию одно начальное условие на нижнем основании и граничные условия на боковых сторонах полуполосы .

Первая смешанная задача.

в области , (2)

, , (3)

, , . (4)

При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (2) в области , начальному условию (3) и граничным усл первого рода (4). Функции , если .

Условия согласования: .

Задача (2)-(4) описывает процесс распространения тепла в тонком стержне длины , расположенном вдоль отрезка .Функция задает температуру стержня в сечении в момент времени . Граничные условия (4) означают, что в торцах стержня поддерживаются заданные температуры , . Функция в начальном условии (3) задает температуру стержня в каждом сечении в начальный момент времени .

Вторая смешанная задача.

в области , (5)

, , (6)

, , . (7)

При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (5) в области , начальному условию (6) и граничным усл второго рода (7).

Условия согласования: .

Граничные условия (7) означают, что в торцах стержня заданы тепловые потоки.

Третья смешанная задача.

в области , (8)

, (9)

, . (10)

При заданных функциях , требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (8) в области , начальному условию (9) и граничным усл третьего рода (10).

Условия согласования: , .

Граничные условия (10) моделируют теплообмен стержня через торцы с окружающей средой.

Заметим, что для существования классических решений сформулированных задач необходимо на начальные и граничные функции и на правую часть уравнения теплопроводности накладывать некоторые дополнительные условия.