29 Постановка задач для уравнения денежных накоплений

Как было показано, если динамика денежных и материальных накоплений отдельной семьи подчиняется системе стохастических уравнений (6.39), где – марковский стохастический процесс с переходной функцией плотности вероятностей , которая определяется функциями , , (5.20), тогда плотность ансамбля семей в пространстве накоплений N удовлетворяет параболическому уравнению (6.54): , (6.80)где ; – эллиптический оператор. Из множества решений уравнения (6.80) необходимо найти единственное решение, которое адекватно описывает динамику накоплений выделенного множества семей (ансамбля семей), схожих по своей экономической деятельности. Для выделения единственного решения на искомую функцию необходимо наложить дополнительные условия, порождающие краевую задачу. Сформулируем некоторые краевые задачи для уравнения (6.80) по аналогии с краевыми задачами для двухмерного уравнения теплопроводности (3.26).Задача Коши на пространстве накоплений N . Предположим, что в начальный момент времени известны накопления каждой семьи. В результате с помощью соотношения (6.40) можно определить функцию плотности распределения семей на пространстве накоплений N в начальный момент времени. Получим начальное условие . (6.81)Добавив начальное условие (6.81) к уравнению (6.80), поставим задачу Коши в , (6.82) , , (6.83) в которой требуется определить решение уравнения (6.82), удовлетворяющее условию (6.83).Смешанные задачи с нелокальными граничными условиями. Разобьем отрезок на элементарные отрезки длиной . В соответствии с формулой (6.16) на отрезке находится семей. Так как каждая семья на отрезке имеет приблизительно рублей накоплений, то в семьях на отрезке сосредоточено рублей. Суммируя по всем элементарным отрезкам, вычисляем сумму денег: , (6.72) где – сумма денег, накопленных в семьях на отрезке в момент времени . Поставим смешанную краевую задачу для уравнения денежных накоплений (6.56) на пространстве накоплений N с граничным условием (6.60) и специальным условием (6.72): в , , , , , (6.73) где второе условие (6.73) называется нелокальным граничным условием, так как в нем задействовано не только значение функции в изолированной точке , но и значения искомой функции во всех точках отрезка . Если вместо первого условия (6.73) задано число семей в ансамбле на пространстве N в соответствии с формулой (6.17), тогда имеем задачу с двумя нелокальными граничными условиями: в , , , , , . (6.74) Заметим, что сформулированные краевые задачи требуют исследования проблемы существования и единственности решения при дополнительном условии положительности решения.

28 Параболические уравнения Колмогорова

Одномерные уравнения Колмогорова. Рассмотрим марковский стохастический процесс c переходной функцией плотности вероятностей . Выведем два уравнения с частными производными, которым удовлетворяет переходная функция по двум парам переменных, соответственно по и по . Вывод уравнений оформим в виде двух теорем.

Теорема 5.1. Пусть:

1. для переходной функции плотности вероятностей выполнены свойства А;

2. плотность при фиксированных и ограничена, то есть , где не зависит от и ;

3. функции , непрерывны, как функции двух переменных и на множестве ;

4. производные , непрерывны на множестве .

Тогда плотность удовлетворяет параболическому уравнению с частными производными по переменным , на : .

Постановка задач для уравнения денежных накоплений ансамбля семей. Как было ранее показано, если динамика денежных накоплений отдельной семьи подчиняется стохастическому уравнению (6.13), где - марковский стохастический процесс с переходной функцией пло-тности вероятностей , которая определяется функциями (5.10), тогда плотность ансамбля семей в пространстве накоплений N удовлетворяет параболическому уравнению (6.30): , (6.56),где . Из множества решений уравнения (6.56) необходимо найти единственное решение, которое адекватно описывает динамику накоплений выделенного множества семей, схожих по своей экономической деятельности. Для выделения единственного решения на искомую функцию необходимо наложить некоторые дополнительные условия, возникающие в зависимости от дополнительной информации, которой обладает исследователь. Сформулируем краевые задачи для уравнения (6.56) по аналогии с краевыми задачами математической физики.

7.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Исключение младших производных в уравнениях. Уравнение характеристик. Рассмотрим класс линейных уравнений второго порядка с независимыми переменными: , (1)

где коэффициенты определены в области .Выделим главную часть уравнения . (2) Рассмотрим числовых переменных и поставим в соответствие производным функции числовые выражения по следующему правилу ,(3) тогда главной части (3) соответствует полином по переменным : . (4) Полином (4) по переменным называется характеристическим полиномом. Зафиксируем точку , получим квадратичную форму с постоянными коэффициентами . (5) Рассмотрим поверхность , принадлежащую области , которую зададим уравнением ,(6), где .

Опр.Поверхность , заданная уравнением (6), называется характеристикой или характеристической поверхностью уравнения (1), если во всех точках поверхности функции удовлетворяет ур.

Уравнение (7) называется уравнением характеристик

Приведение к каноническому виду уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим уравнение (1) с постоянными коэффициентами

(8)

Приведем его к каноническому виду с помощью замены независимых переменных. Для этого в уравнении (8) перейдем от переменных к новым переменным , производя замену , (9) Причем преобразование (9) не вырожденное det( )

Вычислим производные

,

.

После подстановки в (8) получим уравнение в новых переменных:

где , тогда уравнение (8) с помощью преобразования (9) приводится к каноническому виду .

8.Постановка задачи Коши. Теорема Коши-Ковалевской. Рассмотрим -мерное евклидово пространство . Пусть - связная область в пространстве , точка . В области зададим уравнение с частными производными второго порядка

(1)

с достаточно гладкими коэффициентами. Тип уравнения (1) может быть любым. В пространстве зададим незамкнутую без самопересечений поверхность с помощью уравнения (2) где функция является дважды непрерывно дифференцируемой функцией, то есть , а в любой точке . О бозначим через часть поверхности, лежащей внутри области . Будем предполагать, что область представима в виде , где 0 , а подобласти , не имеют общих точек с поверхностью (см. рис. 1).

На поверхности зададим два условия на неизвестную функцию : , , (3) где , - заданные функции на поверхности ; - единичная нормаль к поверхности в точке ; - производная по направлению нормали , которая определяется выражением

, . (4)

Условия (3) называются начальными условиями.

Задача Коши 1( классическая постановка)

в области , (5)

, . (6)

Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (5) в области и начальным условиям (6) на поверхности . Функция , которая удовлетворяет указанным требованиям, называется классическим решением задачи Коши.

Теорема Ковалевской. Если коэффициенты уравнения (*) и нач. фу-ии (**) , являются аналитическими функциями, тогда для любой точки y₀ кривой Г(t-0) существует окрестность этой точки, целиком лежащей в обл. в кот. реш. з.Коши (*), (**) единственной в пространстве аналитических функций.