- •3.Классификация уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Системы уравнений с частными производными.
- •4. Замена независимых переменных в уравнениях второго порядка. Уравнение характеристик.
- •5.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •6.Классификация уравнений второго порядка со многими независимыми переменными.
- •10.Корректно поставленные задачи. Корректность задачи Коши для уравнения колебаний струны. Пример Адамара некорректно поставленной задачи Коши.
- •11. Метод интегральных преобразований для решения задачи Коши для параболических уравнений.
- •12.Принцип максимума и минимума для уравнения теплопроводности, следствия. Корректность задачи Коши для уравнения теплопроводности.
- •13. Пространство осн. Ф-й. Обобщенные ф-и и их сво-ва.
- •14. Сингулярные обобщенные функции, -функция Дирака. Обобщенная производная, обобщенные решения уравнений с частными производными.
- •15.Фундаментальное решение уравнений. Фундаментальное решение и решение задачи Коши для уравнения Колмогорова.
- •25. Метод разделения переменных для решения задачи Дирихле в круге. Интеграл Пуассона.
- •Формулы Грина для оператора Лапласа. Интегральная ф-ула Грина для гармонических функций.
- •Свойства гармонических ф-ций. Принцип максимума и минимума для гармонических ф-ций, следствия.
- •Краевые задачи Дирихле,Неймана и 3го рода для элиптческих ур-ний.Спектральная задача для оператора Лапласа.Корректность внутрих и внешнх краевых задач для ур-ия Лапласа и Пуассона
- •33. Моделирование динамики стоимости ценных бумаг с помощью стохастических дифференциальных уравнений
- •32. Замена переменных в уравнениях Колмогорова. Формула дифференцирования Ито
- •Вышеизложенное позволяет сформулировать следующее утверждение.
- •31.Связь задачи Коши для стохастического уравнения с задачей Коши для уравн. Колмогорова.
- •Это означает, что марковский стохастический процесс описывается уравнением параболического типа (2).
- •29 Постановка задач для уравнения денежных накоплений
- •28 Параболические уравнения Колмогорова
- •35. Уравнение Блэка - Шоулса, смешанная задача для функции стоимости опциона.
- •16. Постановка смешанных задач для уравнения колебаний струны. Граничные условия первого, второго и третьего рода, физическая интерпретация.
- •17. Задача ш. – л. Для обыкновенных д у 2 порядка. Свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма - Лиувилля.
- •30. Решение задачи Коши для уравнения денежных накоплений. Стохастические дифференциальные уравнения в форме Ито.
- •26.Динамические моделир. Ден. Накоплений семьи с использ. Стохастических ду.
- •27. Одном-е марковские стохаст-е процессы в моделир-и случ. Денежных накоп-й. Условная плотность вероятностей стохас-го процесса и ее свойства.
- •19.Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в стержне.
- •20. Решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности в стержне, обоснование решения. Корректность первой смешанной задачи
- •21.Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Фундаментальное решение для уравнения Лапласа.
5.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.
Замена, с помощью которой ур-ние приводится к каноническому виду определяется ур-нием характеристик, поэтому целесообразно рассм. каждый тип ур-ний L[u] = =f (6) отдельно.
Гиперболический тип. Для него D>0 на обл-ти Ω, поэтому ур-ния характеристик (x,y) (13) имеет 2 ЛНЗ первых интегралов: (x,y) = и (x,y) = , где – произвольные константы. Если взять в замене , то в преобразованном ур-нии = =0, а поскольку преобразование не меняет тип ур-ния, то >0)поэтому разделив преобразов. ур-ние на
= (ξ,η,u, ) (15). Вид ур-ния (15) наз-ся каноническим видом ур-ния гиперболического типа. Если в ур-нии (15) произвести замену ; , то получим = = ( ) (16) – канонический вид ур-ния гиперболического типа.
Параболический тип. Для него D=0 на обл-ти Ω, поэтому ур-ние характеристик имеет лишь один ЛНЗ первый интеграл (x,y) = C. Выбрав замену , где – произвольная достаточно гладкая ф-ция, с единственным условием, чтобы преобразование было невырожденным, т.е. I на Ω получим, что в преобразов. ур-нии =0, тогда =0 т.е. - =0, , . В результате разделив преобразованное ур-ние на
= (ξ,η,u, )) (17). Вид ур-ния (17) наз-ся каноническим видом ур-ния пароболического типа.
Эллиптический тип. Для него D<0 на обл-ти Ω, поэтому ур-ние характеристик имеет 2 комплексно-сопряжённые характеристики(2 комплексно-сопряж. интеграла) (x,y)+i (x,y) = C, где ф-ции действительных аргументов x и y. Положим в замене . Тогда в преобразованном ур-нии получаем ; . Данные соотношения получим если в ур-ние характеристик подставить комплекснозначн. интеграл и в полученном тождестве выделить действ. и мнимую части. В итоге разделив преобразованное ур-ние на приходим к ур-нию
(18)
Вид ур-ния (18) наз-ся каноническим видом ур-ния эллиптического типа.
6.Классификация уравнений второго порядка со многими независимыми переменными.
Рассм. линейные ур-ния 2-го порядка n независимых переменных:
(19), где x= ( ) точка обл-ти Ω , = ( коэф. симметричны).
Опр. Выражение наз-ся главной частью ур-ния (19).
По главной части ур-ния(19) построим полином P(t;x):
P(t;x) = (21). Полином (21) наз-ся характерестическим полиномом ур-ния с частными производ.(19)(УЧП). Он представляет собой квадратичную форму с переменными коэф. Зафиксируем некот. точку тогда многочлен P(t; ) представляет собой квадратичную форму с постоянными коэф. Рассм. некоторую поверхность Г<Ω кот. задаётся ур-нием: где - дважды непрерывно-диф. на обл-ти ( ).
Опр. Поверхность Г заданная ур-нием(22) наз-ся характеристической поверхностью ур-ния(19), если во всех точках поверхности Г ф-ция удовлетворяет ур-нию: (23). Ур-ние (23) наз-ся ур-нием характеристик дляУЧП(19). Классификацию ур-ния (19) в т. осуществим с помощью квадратичной формы (21) в зависимости от того какой канонический вид имеет эта квадратичная форма.
Опр. Ур-ние(19) к эллиптическому типу в т. если в этой точке квадратич. форма(21) P(t; ) знакоопределённая, т.е при приведении её к сумме квадратов все коэф.равны либо 1, либо -1.
Опр. Ур-ние (19) наз-ся ур-нием гиперболического типа в т. , если в этой точке приведение квадратичной формы P(t; )к сумме квадратов даёт либо один полож. остальные отриц., либо один отриц. все остальные полож. коэф., нулевых нет.
Опр. Ур-ние (19) в т. принадлежит к ультрогиперболическому типу, если в т. после приведения квадратичной формы P(t; ) к сумме квадратов получаем более одного полож. или более одного отриц. коэф., нулевых нет.
Опр. Ур-ние (19) в т. принадлежит к параболическому типу если в этой точке приведение квадратичной формы P(t; ) к сумме квадратов даёт хотя бы один нулевой коэф., а ненулевые коэф. имеют одинаковые знаки.
Опр. Ур-ние (19) к эллиптическому типу (гиперболическому, ультрогиперболическому, параболическому) на обл-ти Ω если в каждой точке этой обл-ти оно к эллиптическому(гиперболическому, ультрогиперболическому , параболическому) типам.