14. Сингулярные обобщенные функции, -функция Дирака. Обобщенная производная, обобщенные решения уравнений с частными производными.

Примером сингулярной обобщенной функции может служить -функция Дирака. Зафиксируем нек.точку и построим функционал , кот.действ.на ф-ию след.образом = = .

В частном случае, если точка – нач.координата, то .

Из св-в интегр. Вытекает, что функционал -лин.и непрерывн., а значит он явл.обобщенной функцией. Такая фун. И наз-ся -функция Дирака.

Рассмотрим открытое мн-во . Будем говорить, что обобщенная фун-я f=0 на , если выполнены условия , то (f, )=0.

Обозначим -наибольшее открытое множество, на котором обобщенная функция f=0, тогда насителем обобщенной ф-ии f будем называть замкнутое множество . Из зад. –функции Дирака вытекает . Носителем будет . Вне этой точки фун-я Дирака зануляется.

Рассмотрим обобщенную фун-ю вида , где А- невырожденная матрица. Действие функционала на функцию осуществляется след.образом: . (1)

В интеграле (1) выполнена замена переменной y=Ax, тогда

|I|dy=|I|. Получим соотношение . Определим произв. . Обобщенная фу-я . (2)

Т.к. фун-я из , то прав.часть (2) определена, а тем самым и определен функционал , кот. Явл. Непрерывн., т.е. является обобщенной ф-ей. Формула (2) позволяет найти произведение от любой огранич.функции.

Опр. Будем говорить, что функция , где , если сама функция и всевозможные , , - пространство Соболева.

Рассмотрим ДУ с ч.п. .(1)

Опр. Обобщенная функция u наз.обобщенным решением ур.(1), если выполн.тождества -сопряженный дифференциальный оператор к L.

15.Фундаментальное решение уравнений. Фундаментальное решение и решение задачи Коши для уравнения Колмогорова.

Рассмотрим ДУ с ч.п. .(1)

Опр. Обобщенная функция u наз.обобщенным решением ур.(1), если выполн.тождества -сопряженный дифференциальный оператор к L.

Пусть в правой части ур.(1) стоит –функция: (2). Любое обобщенное решение ур.(2) называется фундаментальной функцией оператора L. Естественно, что фундамент.фун-я опер.L определ.неоднозначно. Для однозначности накладывают дополнительные условия нормировки. Это выделяет единств.фундамент.фун-ю , кот.наз-ся фундамент.реш.ур.(2).

Рассм.ур-е Колмогорова неоднородное с функцией, т.е.ур.вида (c(t,x)u)-

(3),кот.я явл-ся уравн.вида (2).

Если параметры с и b – постоянные, то ур (3) приведем к виду: (4) выполняя параллельный перенос (4) приведем к виду: (5). Найдем фундаментальное решение ур (5), потребовав дополнительно, чтобы решение 0, когда (6). В уравнении (5) выполним замену . Тогда ур.(5) примет вид: . По св-ву функции, ур.приведем к виду:

.(7) Выполним еще одну замену: , тогда(применяя сво-во дельта-функции): .(8). Формально, ур(7) и (8) одинаковы. В силу усл. (6) их фундамент.реш.единственны, а зн.совпадают. Значит . Это рав-во справедливо Выберем и введем нов.переменную .(9) Тогда w(z), w(z)- фун-я .

Подставим (9) в (7). После приведения подобных получим ОДУ 2 порядка( и т.к. при положительных -функция =0)получим: . Это ДУ Эйлера, откуда с учетом требования (6), чтобы занулить , выбираем решение . Чтобы данная функция или реш. было нормиров. , тогда (10). Функция (10) явл.фундаментальным решением ур.Колмогорова(5) при t>0. При t<0 фунд.реш. определено нулем. Произведя обратный сдвиг координат (t,x) на величины соотв. Получим фунд.решение ур.(4).