- •3.Классификация уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Системы уравнений с частными производными.
- •4. Замена независимых переменных в уравнениях второго порядка. Уравнение характеристик.
- •5.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •6.Классификация уравнений второго порядка со многими независимыми переменными.
- •10.Корректно поставленные задачи. Корректность задачи Коши для уравнения колебаний струны. Пример Адамара некорректно поставленной задачи Коши.
- •11. Метод интегральных преобразований для решения задачи Коши для параболических уравнений.
- •12.Принцип максимума и минимума для уравнения теплопроводности, следствия. Корректность задачи Коши для уравнения теплопроводности.
- •13. Пространство осн. Ф-й. Обобщенные ф-и и их сво-ва.
- •14. Сингулярные обобщенные функции, -функция Дирака. Обобщенная производная, обобщенные решения уравнений с частными производными.
- •15.Фундаментальное решение уравнений. Фундаментальное решение и решение задачи Коши для уравнения Колмогорова.
- •25. Метод разделения переменных для решения задачи Дирихле в круге. Интеграл Пуассона.
- •Формулы Грина для оператора Лапласа. Интегральная ф-ула Грина для гармонических функций.
- •Свойства гармонических ф-ций. Принцип максимума и минимума для гармонических ф-ций, следствия.
- •Краевые задачи Дирихле,Неймана и 3го рода для элиптческих ур-ний.Спектральная задача для оператора Лапласа.Корректность внутрих и внешнх краевых задач для ур-ия Лапласа и Пуассона
- •33. Моделирование динамики стоимости ценных бумаг с помощью стохастических дифференциальных уравнений
- •32. Замена переменных в уравнениях Колмогорова. Формула дифференцирования Ито
- •Вышеизложенное позволяет сформулировать следующее утверждение.
- •31.Связь задачи Коши для стохастического уравнения с задачей Коши для уравн. Колмогорова.
- •Это означает, что марковский стохастический процесс описывается уравнением параболического типа (2).
- •29 Постановка задач для уравнения денежных накоплений
- •28 Параболические уравнения Колмогорова
- •35. Уравнение Блэка - Шоулса, смешанная задача для функции стоимости опциона.
- •16. Постановка смешанных задач для уравнения колебаний струны. Граничные условия первого, второго и третьего рода, физическая интерпретация.
- •17. Задача ш. – л. Для обыкновенных д у 2 порядка. Свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма - Лиувилля.
- •30. Решение задачи Коши для уравнения денежных накоплений. Стохастические дифференциальные уравнения в форме Ито.
- •26.Динамические моделир. Ден. Накоплений семьи с использ. Стохастических ду.
- •27. Одном-е марковские стохаст-е процессы в моделир-и случ. Денежных накоп-й. Условная плотность вероятностей стохас-го процесса и ее свойства.
- •19.Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в стержне.
- •20. Решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности в стержне, обоснование решения. Корректность первой смешанной задачи
- •21.Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Фундаментальное решение для уравнения Лапласа.
12.Принцип максимума и минимума для уравнения теплопроводности, следствия. Корректность задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Рассм. плос-ть Oxt и на ней открытый прямоугольник П . Часть границы прямоуг.П обозн. : =EA
Обозначим (прямоугольник +часть его границы). На прямоугольнике рассм.ур-ие теплопроводности (1)
Решения ур-ия(1) на не могут принимать сколь угодно больших и сколь угодно малых решений, а именно справедлива теорема (принцип max и min).
Теорема: Пусть ф-ия U(t,x) C2( ) C( ) и удовл. ур-ию (1) на , тогда ф-ия u достигает своего наиб. и наим. значений на кривой .
u(t,x) (2)
Д-во: (проведем для max, для min такле же (замена u=-u) методом от противного)
Предположим, что достигается в некот.точке , тогда ,
Введем в рассмотрение ф-ию (3)
k=const, 0 . Значение = .
Получим знач.ф-ии во внутр. точке прямоугольника больше, чем значения ф-ии на кривой Предположим, что ф-ия приним. свое наиб. значение в некот. точке . Рассм. возможные случаи:
1).точка , тогда она внутренняя, и согласно достаточному признаку экстремума для внутр.точки максимума следует, что (4)
2). Если лежит на стороне , то она граничная для П. Исходя из условия экстремума (max-мума) для граничной точки, получаем: (5)
Оценим производную ф-ии u:
, тогда и исходя из (4) и(5): , ,
По условию, ф-ия в точке удовл. условию ур-ия (1). Получим противоречие, чтд.
Следствие1:
Пусть и -решение ур-ия (1) на прямоугольнике , тогда .
Следствие2:
Если 3 решения ур-ия (1) на кривой удовл. двойному нер-ву
, то
,
13. Пространство осн. Ф-й. Обобщенные ф-и и их сво-ва.
Пусть x – вектор пространства , x . На нем зададим финитную функцию , т.е. фун-ю, для кот.сущ.-т. Открытое ограниченное множество U , для кот. . Замкнутое множество -носитель финитной функции . Множество всех финитных функций является линейным пространством, которое обозначается D( . Рассмотрим .
Опр. Последоват-ть называется сходящейся к финитной функции , т.е. , если выполнены условия:1) 3) существуют ограниченное замкнутое множество .
Про-во с указанной сходимостью будем называть пространством основных функций. На этом пространстве введем линейный функционал , где .
Линейный функционал , значит, что .(1)
Опр.Обобщенной функцией будем называть линейный непрерывный функционал на пространстве функций.
Непрерывный функционал означает, что для любой последовательности функций выполнены условия .(2)
Исходя из (1) и (2) можем утверждать, что множество всех обобщенных функций образует линейное пространство, которое обозначим .
Рассмотрим произв. локально суммируемую функцию g(x), . С помощью «обычной» функции построим лин.функционал g . Определив его следующим образом . Линейный функционал вытекает из свойства линейности определения n-мерного интеграла Римана, а непрерывн.из рассуждений.
.
Т.о. по обычной функции g мы построили функционал g, который является обобщенной функцией. Значит функцию g мы можем рассм.как обобщенную функцию. Такие обобщенные функции будем называть регулярными обобщенными функциями. Все остальные обобщенные функции – сингулярными.