7.3. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий.
Рассчитав общую среднюю величину и дисперсию для исследуемой совокупности, нельзя определить влияние отдельных факторов (причин) на вариацию признака, определяется только совокупное влияние факторов. Для выявления влияния конкретных факторов, необходимо изучаемую совокупность подразделить на группы, однородные по признаку – фактору. Далее рассчитываются 3 показателя колеблемости признака: общая дисперсия, межгрупповая дисперсия и средняя из внутригрупповых дисперсий.
Например, опытные земельные участки сгруппированы по урожайности на 2 массива по признаку – удобряемость почвы: неудобряемая и удобряемая.
Общая дисперсия – характеризует вариацию признака, которая зависит от всех факторов.
, 
,
,
=235.
Межгрупповая дисперсия – отражает вариацию признака, которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Характеризует колеблемость групповых средних около общей средней.
,
где 
- средняя отдельных групп,
- численность групп.
или 43% от общей
дисперсии, т.е. вариация урожайности
зависит от удобряемости на 43%.
Средняя из внутригрупповых дисперсий – характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе, которая возникает под влиянием других факторов, не учтённых, и не зависит от признака, положенного в основу группировки.
, где
- групповые дисперсии. 
(57%
общей вариации, в пределах групп
урожайность зависит от других факторов).
Правило сложения дисперсий.
-
общая дисперсия признака всегда равна
сумме величин межгрупповой дисперсии
и средней из внутригрупповых дисперсий.
Правило позволяет:
а) определить недостающий показатель:
б) проанализировать степень влияния фактора-признака на результат.
Рассчитываются для этого:
Коэффициент детерминации:
- показывает зависимость результативного
признака от группировочного; на
- фактор удобряемости обуславливает
вариацию урожайности, остальное –
влияние других, неучтённых факторов.Коэффициент корреляции:
-
показывает тесноту связи между
результативным и группировочным
признаком.
-
связь заметная.
7.4. Характеристика закономерности рядов распределения. Кривые нормального распределения.
С помощью рядов распределения статистика решает одну из своих задач: характеризует и измеряет колеблемость варьирующего признака. В вариационных рядах существует связь между частотами и значениями варьирующего признака: с увеличением признака величина частоты сначала возрастает до определённой границы, а потом уменьшается. Такие изменения называются закономерностями распределения.
Статистические данные рядов распределения по конкретному признаку в графическом виде представляют собой определенные кривые распределения. Задачей статистики является определить форму кривой (тип), степень рассеивания (чем больше рассеяна кривая, тем больше колеблемость признака), степень её асимметрии, высоко- или низковершинность. Цель такого исследования – проверить нормальность условий отбора данных, т.е. если кривая асимметрична или имеет две и более вершины, то состав данных разнотипен, их необходимо перегруппировать и выделить другие, более однородные группы.
Для определения характера распределения оценивают степень его однородности, т.е. вычисляют показатели асимметрии и эксцесса.
Симметричным
(нормальным) распределением является
то, у которого частоты двух вариант,
равностоящих в обе стороны от центра
распределения, равны между собой. В нём
,
Mo
и Me
равны, т.е. показатели асимметрии равны
нулю. В противном случае рассчитываются
показатели асимметрии:
или
.
Они
могут быть положительными и отрицательными.
Если показатель асимметрии положительный
(As>0),
значит, присутствует правосторонняя
асимметрия и
.
Если
показатель асимметрии отрицательный
(
),
то асимметрия левосторонняя и
.
3 1 2 1 – нормальное распределение
2 – правосторонняя асимметрия
3 – левосторонняя асимметрия
Коэффициент асимметрии может изменяться от (-3) до (+3). Принято считать, что асимметрия больше 0,5 (независимо от знака) – значительная, меньше 0,25 – незначительная.
На практике чаще применяется показатель асимметрии:
, 
- центральный момент третьего порядка*,
- среднее квадратическое отклонение в
кубе.
В действительности распределения данных редко бывают симметричными, т.е. нормальными. Нормальная кривая – это идеализированная форма распределения, хотя многие распределения близки к нормальному.
Преобразование фактического конкретного распределения в нормальное, т.е. определение теоретической кривой нормального распределения, необходимо, чтобы выявить общую закономерность развития изучаемого явления, возникающую под воздействием множества случайных причин, позитивных и негативных отклонений. Уравнение нормальной кривой:
(1), где
- ордината,
,
- стандартизированная нормальная
величина.
Широко применяется в теории выборочного метода для определения закономерности развития генеральной совокупности по данным выборки и для расчёта соответствующих показателей.
Из
(1) видно, что
и
определяют черты симметричной кривой
нормального распределения. В зависимости
от их значений, кривая может иметь
разный центр группирования, быть более
удлинённой или сжатой.
Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности):
показатель Линдберга :
, n
– доля (%) количества вариант, лежащих
в интервале, равном половине
в
ту или другую сторону от
.
2)
, 
- центральный момент 4-го порядка,
,
- середина интервала в интервально
ряду,
- величина интервала.
Если
,
то распределение симметричное;
Если
,
то распределение островершинное;
Если
,
то распределение плосковершинное.
Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса необходима для вывода об отнесении данного эмпирического распределения к типу нормального распределения. Если оно не относится к нормальному, то строится математическая модель по уравнению (1) и выявляется закономерность развития данного явления, включая и прогноз.
Существенность расхождений между эмпирическим и теоретическим распределениями определяется с помощью ряда критериев согласия: К. Пирсона (Хи-квадрат), В.И.Романовского, Б. С. Ястемского, А. Н. Колмогорова.