Тема 7. Показатели вариации.

7.1. Понятие вариации.

7.2. Абсолютные и средние показатели вариации. Показатели относительного рассеивания. Дисперсия альтернативного признака.

7.3. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий.

7.4. Характеристика закономерности рядов распределения. Кривые нормального распределения.

7.1. Понятие вариации.

Каждый изучаемый объект находится в конкретных условиях и развивается со своими особенностями под влиянием различных факторов. Это развитие выражается числовыми уровнями статистических показателей, в частности, средними характеристиками.

Вариация – это несовпадение уровней одного показателя у разных объектов. Вариация признака – различие индивидуальных значений признака внутри совокупности. Характеризует однородность совокупности. Показатели вариации служат для её измерения, в частности, измеряют отклонение (вариацию) индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности от средних величин, показывают надёжность средних характеристик. Таким образом, при анализе исследуемой совокупности, полученные средние величины необходимо дополнить показателями, измеряющими отклонения от средних и показывающих степень их надёжности, т.е. показателями вариации.

Статистика изучает не все различия значений конкретного признака, а только количественные изменения величины признака в пределах однородной совокупности, которые вызваны пересекающимся влиянием различных факторов.

Различают случайную и систематическую вариацию признака. Статистика изучает систематическую вариацию. Её анализ позволяет оценить степень зависимости изменений изучаемого признака от различных факторов, вызывающих эти изменения.

Определив характер вариации в исследуемой совокупности, можно сказать, насколько она однородна, и следовательно, насколько характерной является рассчитанная средняя величина.

Степень близости отдельных единиц к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей вариации.

7.2. Абсолютные и средние показатели вариации. Показатели относительного рассеивания. Дисперсия альтернативного признака.

1. Абсолютные и средние показатели.

1. Размах вариации: . Самый простой показатель по расчёту, но улавливает только крайние отклонения, не отражает отклонений всех вариант в ряду. Измеряется в тех же единицах, что и варианты.

2. Среднее линейное отклонение:

или ,

это средняя арифметическая из отклонения индивидуальных значений признака от средней величины, без учёта знака этих отклонений, т.к., по правилу средней арифметической, сумма фактических отклонений от средней равна нулю.

Показатель даёт обобщающую характеристику распределению отклонений, учитывает различия всех единиц совокупности. Чем оно меньше в данной совокупности, тем однороднее её показатели, по сравнению с показателями другой сравниваемой совокупности.

В статистической практике применяется редко, т.к. часто не улавливает степень рассеивания. Единица измерения та же, что у вариант.

3. Дисперсия (мера вариации) или средний квадрат отклонений:

или , это средняя арифметическая из возведенных в квадрат отклонений вариант от средней величины.

4. Среднее квадратическое отклонение: это квадратный корень из дисперсии. Оно характеризует вариацию признака в абсолютном выражении, измеряется в тех же единицах, что и признак (варианта).

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются общепринятыми мерами вариации признака.

Среднее квадратическое отклонение является критерием надёжности средней величины. Чем оно меньше, тем лучше средняя арифметическая отражает изучаемую совокупность.

Кроме того, если средняя величина отражает тенденцию развития, т.е. влияние главных факторов на изменение признака, то среднее квадратическое отклонение измеряет силу воздействия прочих факторов.

Математические свойства дисперсии:

1. Если из всех значений вариант отнять постоянное число A, то дисперсия от этого не изменится.

2. Если все значения вариант разделить на постоянное число A, то дисперсия уменьшится в A² раз, а среднее квадратическое отклонение – в A раз.

3. Дисперсия от постоянной величины A, которая отличается от средней арифметической, т.е. не равна ей, будет всегда больше дисперсии, исчисленной от средней арифметической ( ) на определённую величину, равную , т.е.

или

(1).

Дисперсия от средней всегда меньше, чем дисперсии, рассчитанные от любых других величин. Если A=0, то тогда (1) преобразуется в

, т.е. (2).

Формула (2) – это второй способ расчёта дисперсии как разности между средним квадратом значений признака и квадратом среднего значения признака.

Если в формуле (2) условно обозначить , а и применить второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала, то

(3), где - момент первого порядка, - момент второго порядка.

Этот способ расчёта дисперсии называется способом моментов (способ отсчёта от условного нуля). Применяется только при условии равных интервалов в вариационном ряду.

2. Показатели относительного рассеивания.

Характеризуют колеблемость (вариацию) признака в относительных величинах, т.е. относительную меру колеблемости. Рассчитываются, когда сравнивается один признак в двух одноимённых совокупностях, но относящихся к разным единицам наблюдения, при различных значениях средних в этих совокупностях и при сравнении разноимённых совокупностей.

1. Коэффициент осцилляции: , отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

2. Относительной линейное отклонение: , характеризует долю усреднённого значения абсолютных отклонений в средней величине.

3. Коэффициент вариации: , используется для оценки типичности средних величин. Является критерием надёжности средней: если он больше 35-40%, то признак сильно колеблется, следовательно, средняя менее надёжна, а совокупность неоднородна.

Часто применяется в тех случаях, когда нельзя сравнить средние квадратические отклонения разных явлений. Например, что больше варьирует: рост мальчиков одного возраста или их вес (в м., см. – рост, вес – в кг., г.). , => вес варьирует больше, чем рост.

3. Дисперсия альтернативного признака.

Показатели вариации рассчитываются не только для количественных признаков, но и для альтернативных. Альтернативным называется признак, которым обладают одни единицы совокупности и не обладают другие (два взаимоисключающих варианта: пол – мужской, значит, не женский.)

В статистике наличие альтернативного признака обозначается 1, а его отсутствие – 0. Доля вариантов, обладающих признаком, обозначается «p» , а доля вариантов, не обладающих – «q».

(1), (2), (3), (4).

Например, из 1000 человек, работающих на предприятии, 600человек составляют женщины.

, , , .