- •Основные допущения и гипотезы сопротивления материалов
- •Расчетная схема. Классификация расчетных схем по геометрическому признаку
- •Внешние силы. Силы массовые и поверхностные. Сосредоточенные силы
- •Принципы сопротивления материалов: неизменяемости начальных размеров, независимости действия сил, Сен-Венана.
- •Механические характеристики материалов
- •Определение предела текучести и предела прочности
- •Особенности испытания при сжатии
- •Влияние повторных нагружений, температуры и скорости нагружения на механические характеристики материалов
- •Экспериментальное определение модуля упругости и коэффициента Пуассона
- •Внутренние силы. Метод сечений. Внутренние силовые факторы
- •Метод сечений.
- •Внутренние силовые факторы.
- •Напряжения и деформации Напряжение.
- •Растяжение и сжатие. Удлинения и деформации при растяжении и сжатии
- •Коэффициенты запаса прочности и допускаемые напряжения
- •Закон Гука при растяжении и сжатии
- •Определение перемещений при растяжении (сжатии)
- •Закон парности касательных напряжений (из напряжений по косым площадкам)
- •Расчёты на прочность (проектировочный, проверочный, определение несущей способности)
- •Напряженное состояние при растяжении и сжатии (напряжения по косым площадкам)
- •Статически неопределимые системы, работающие на растяжение и сжатие
- •Свойства статически неопределимых систем.
- •Расчет статически неопределимых систем, работающих на растяжение и сжатие за пределами упругости
- •Особенности расчета за пределами упругости.
- •Предельное состояние системы, работающей на растяжение.
- •Чистый сдвиг. Закон Гука при чистом сдвиге. Связь между модулем упругости и модулем сдвига
- •Кручение стержней круглого поперечного сечения
- •Угловое перемещение при кручении и условие жёсткости при кручении (определение касательных напряжений при кручении)
- •Расчет полых валов
- •Кручение стержней прямоугольного поперечного сечения
- •Моменты сопротивления плоских сечений (прямоугольное, круглое, составные сечения)
- •Кручение тонкостенных стержней открытого профиля
- •Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля
- •Статически неопределимые задачи кручения
- •Геометрические характеристики поперечных сечений. Статические моменты и моменты инерции и их свойства.
- •Статические моменты.
- •Преобразование моментов инерции при параллельном переносе осей
- •Моменты инерции простейших фигур (прямоугольник, треугольник, круг)
- •Преобразование моментов инерции при повороте осей
- •Главные оси и главные моменты инерции
- •Изгиб. Внутренние силовые факторы при изгибе
- •Дифференциальные зависимости при изгибе
- •Напряжения при чистом изгибе
- •Расчеты на прочность при изгибе. Рациональные типы сечений при изгибе
- •Напряжения при поперечном изгибе. Формула Журавского
- •Косой изгиб
- •Напряжения при косом изгибе.
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Перемещения при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси
- •Интегрирование уравнения изогнутой оси по методу начальных параметров
- •Теорема о работе силы, приложенной к линейно упругой системе
- •Потенциальная энергия деформации при растяжении и сжатии
- •Потенциальная энергия деформации при изгибе
- •Теорема о взаимности работ и перемещений
- •Теорема Кастилиано
- •Метод Мора. Интеграл Мора
- •Вычисление интеграла Мора по методу Верещагина
- •Кинематический анализ плоских стержневых систем. Статически неопределимые рамы и балки
- •Метод сил. Уравнения метода сил.
- •Использование симметрии и косой симметрии при расчете рам и балок
- •Правило:
- •Расчет статически неопределимых балок
- •Проверка правильности раскрытия статической неопределимости.
Метод Мора. Интеграл Мора
Теорема Кастельяно дала нам возможность определять перемещения. Эту теорему используют для отыскания перемещений в пластинках, оболочках. Однако, вычисление потенциальной энергии громоздкая процедура и мы сейчас наметим более простой и наиболее общий путь определения перемещений в стержневых системах.
Пусть задана произвольная стержневая система и нам нужно определить в ней перемещение точки по направлению , вызванное всеми силами системы -
Т.к. в общем случае в системе нет силы, приложенной по направлению искомого перемещения, то воспользоваться теоремой Кастельяно нельзя. Добавим к числу прочих сил силу , приложенную к точке и действующую в направлении . Тогда внутренние силовые факторы в системе можно выразить
, где - внутренние силовые факторы в системе от действующих сил;
- внутренние силовые факторы от силы .
Внесем эти выражения в (3)
По теореме Кастельяно:
Учтя, что
получаем выражение:
называемое интегралом Мора.
Для того, чтобы определить перемещение с помощью метода Мора, необходимо:
1) Определить внутренние силовые факторы в системе от заданных сил.
2) Приложить по направлению искомого перемещения единичную обобщенную силу (единичную силу для определения линейного перемещение, пару сил с моментом равным единице для определения углового перемещения и определить внутренние силовые факторы от единичной силы.
3) Подставить полученные ранее выражения в интеграл Мора и определить перемещение.
Для систем, работающих на изгиб: балок, рам, влияние нормальных сил на величину перемещения незначительно и интеграл Мора в этом случае выглядит:
50)
Вычисление интеграла Мора по методу Верещагина
При постоянной жесткости стержня или участков стержня вычисление интеграла Мора сводится к вычислению интегралов вида:
В случае, если хотя бы один из изгибающих моментов, стоя-
щих в подинтегральном выражении, представляет собой линейную функцию координат ( в системах, состоящих из прямолинейных стержней, всегда имеет линейный вид), то возможна удобная графоаналитическая интерпретация вычисления интеграла Мора.
Пусть эпюра очерчена по произвольному закону; - площадь этой эпюры, а - центр тяжести площади . Эпюра очерчена по линейному закону . Подставим это выражение в (1)
Правило Верещагина.
Для того, чтобы вычислить интеграл Мора необходимо площадь одной из эпюр умножить на ординату, взятую из другой эпюры под центром тяжести площади.
Замечание 1. Ордината берется обязательно из линейной эпюры.
Замечание 2. Эпюра, из которой берется ордината , должна быть очерчена в пределах перемножаемого участка по одному закону (это ясно из вывода).
Замечание 3. Если обе перемножаемые эпюры линейны, то “умножение” по правилу Верещагина коммутативно.
Замечание 4. Если перемножаемая площадь и ордината расположены по одну сторону от оси стержня (имеют один знак), то произ
ведение берется со знаком плюс.
Таким образом, в тех случаях, когда возможно вычисление ин
теграла Мора по правилу Верещагина перемещения можно определить следующим образом: , где индексом
пронумерованы все участки, на которые разбита система для перемножения по правилу Верещагина.
Напомним, - перемещение ищется по направлению силы .
51)