9.1. Основні рівняння пасивних лінійних чотириполюсників

Р озглянемо лінійний пасивний чотириполюсник (рис. 9.2)

1-1’ – вхідні затискачі, до яких вмикаються джерела енергії,

2-2’ – вихідні затискачі, до яких вмикаються навантаження,

I₁ і U₁, I₂ і U₂ – відповідно вхідні і вихідні струми та напруги чотириполюсника, Z₂ – комплексний опір споживача.

Чотириполюсник характеризується двома напругами U₁, U₂ та двома струмами I₁, I₂. Будь-які дві величини із чотирьох можна визначити за двома іншими. Число комбінацій з 4 по 2 дорівнює , тому можливі 6 форм запису рівнянь чотириполюсника.

Виведемо основні рівняння пасивного чотириполюсника, що встановлює зв’язок між вхідними та вихідними величинами.

Нехай пасивний чотириполюсник містить n контурів. Для визначення струмів I₁ та I₂ використаємо метод контурних струмів.

При цьому I_I=I₁; I_II=I₂, а частину опору вихідного контуру, що знаходиться всередині чотириполюсника, позначимо через Z’₂₂, тоді Z₂₂=Z’₂₂+Z₂ i Z₂₂I₂=Z’₂₂I₂+Z₂I₂=Z’₂₂I₂+U₂.

Рівняння приймуть наступний вигляд:

Визначимо струми I₁ та I₂ за методом визначників, тобто як , де

Розкладемо ∆_k по елементах k – го стовпця, тоді

.

Визначимо струми I₁ та I₂, враховуючи, що E_I = U₁; E_II = -U₂, Е_ІІІ,…, Е_N =0 (як для пасивного чотириполюсника), тоді

(9.1)

(9.2)

З рівняння (9.2) визначимо U₁ та підставимо його в рівняння (9.1).

.

Позначимо: ;

Тоді основна система рівнянь пасивного чотириполюсника при передачі електричної енергії зліва направо прийме вигляд:

– основна система рівнянь пасивного чотириполюсника,

де A, B, C, D – сталі чотириполюсника, це комплексні величини.

A, D – безрозмірні величини, [B] – Ом; [C] – См.

Для кожного чотириполюсника сталі чотириполюсника можна визначити розрахунковим або дослідним шляхом.

Для чотириполюсників, що задовольняють принципу оберненості, тобто ∆₁₂=∆₂₁, сталі чотириполюсника зв’язані співвідношенням:

AD-BC=1.

Доведемо це:

Отже, будь-який пасивний чотириполюсник характеризується трьома сталими, так як четверта може бути визначена із рівності AD-BC=1.

Тепер поміняємо місцями джерело енергії та приймач, тобто електрична енергія буде передаватися з права наліво (рис. 9.3).

В

Z₂

цьому випадку в рівняннях чотириполюсника потрібно замінити:

U₁ на U₂; U₂ на U₁;

I₁ на –I₂; I₂ на –I_1.

Тоді рівняння приймають вигляд:

Розв’яжемо одержану систему відносно U₁ та I₁, для цього спочатку перше рівняння помножимо на D, а друге – на B, а потім перше рівняння помножимо на С, а друге – на A і віднімемо від першого друге

I DU₂=ADU₁-BDI₁ II CU₂=ACU₁-BCI₁

 

BI₂=BCU₁-BDI₁ AI₂=CAU₁-ADI₁

 

DU₂+BI₂=U₁ CU₂+AI₂=I₁

Таким чином, – основне рівняння чотириполюсника при зворотній передачі енергії.

Ці рівняння відрізняються від рівнянь чотириполюсника, складених для випадку передачі енергії зліва направо тим, що помінялись місцями A та D.

Чотириполюсник називається симетричним, якщо при передачі енергії зліва направо він по відношенню до вхідних затискачів представляє собою таке ж саме коло, як і при передачі енергії з права наліво.

В цьому випадку A=D.