8.11.2. Коливальний (періодичний) розряд конденсатора

Коливальний розряд конденсатора у контурі R,L,С має місце при умові, що дискримінант характеристичного рівняння менше нуля, тобто D < 0

< 0, або R<2ρ.

У цьому випадку корені характеристичного рівняння будуть комплексно-спряжені з від'ємною дійсною частиною

де – кутова частота власних коливань контуру з втратами,

звідси: .

У даному випадку загальне рішення однорідного рівняння необхідно шукати в вигляді:

де θ=arctgω_c /δ.

Докажемо це, для чого запишемо комплексно-спряжені корені в показниковій формі:

де θ=arctgω_c /δ.

Підставимо значення p₁ та p₂ у вираз для u_c

Отриманий вираз аналогічний раніше записаному та представляє собою затухаючий процес. Отже, у випадку комплексно-спряжених коренів характеристичного рівняння рішення однорідного диференційного рівняння другого порядку треба шукати у вигляді:

Для визначення сталих інтегрування A та в якості другого рівняння використаємо рівняння для струму:

Скористаємося незалежними початковими умовами. При t=0:

→

Враховуючи, що

Звідси: , .

Визначимо sinθ за відомими

для чого скористаємося допоміжним трикутником (рис. 8.23), звідки маємо:

.

Тоді сталі інтегрування дорівнюють:

, .

Підставимо значення A та у вирази для напруги u_с та струму і, отримаємо:

.

Для спрощення побудови та аналізу часової діаграми перехідного струму i приведемо його вираз до однієї тригонометричної функції.

З допоміжного трикутника маємо:

Враховуючи, що , отримуємо:

Введемо позначення , тоді:

Закінчений вираз для u_c та i приймає вид :

Напруга нa індуктивній котушці u_L буде:

Коливальний характер зміни напруги u_с та струму i пояснюється багатократним обміном енергією між електричним полем конденсатора та магнітним полем котушки. Так як коло має опір R, то коливальний процес є затухаючим. Вільний процес затухає тим швидше, чим більше коефіцієнт згасання контуру ,який входить у множник .

Кількісною характеристикою швидкості згасання служить декремент коливання.

Д екрементом коливань зветься відношення двох наступних друг за другом максимальних значень струму або напруг одного знаку:

Величина зветься логарифмічним декрементом коливань.

8.11.3. Гранично-аперіодичний розряд конденсатора

Гранично-аперіодичний розряд конденсатора в контурі R,L,С має місце при тобто , або що зветься критичним опором.

У цьому випадку корені характеристичного рівняння є рівними та від’ємними числами:

.

У цьому випадку вільну складову напруги шукають у вигляді:

Перехідний струм у контурі

Знаходимо сталі інтегрування. При t=0:

, звідси

Після підстановки сталих інтегрування отримаємо:

, .

Напруга на індуктивній котушці:

Враховуючи, що:

отримаємо:

.

Часові діаграми і,u_L,u_c за формою подібні відповідним кривим при аперіодичному розряді конденсатора. Але цей процес є граничним, при якому ще не відбувається перезарядки конденсатора.