8.11. Перехідні процеси при розряді конденсатора на активний опір та індуктивну котушку

Розглянемо перехідні процеси у колі з послідовним з’єднанням R, L, С, яке є найпростішим прикладом лінійного кола з декількома накопичувачами електричної енергії.

Аналіз ПП будемо здійснювати у тій же послідовності, що й для кіл з одним накопичувачем енергії.

У контурі R, L, C, який отримали після комутації, задамося додатнім напрямком перехідного струму і та напруг u_c, u_L, u_R, а також напрямком обходу контуру.

Визначимо незалежні початкові умови із контуру до комутації з урахуванням вибраного напряму перехідного процесу:

u_c(0) – U = 0,

звідки u_c(0) =U, i(0)=i(0)=0.

Перехідний процес у контурі R, L, C зумовлений розрядом конденсатора на R та L, який до комутації мав енергію

.

Перехідний процес у контурі описується рівнянням:

.

Враховуючи, що , отримаємо

– однорідне рівняння 2-го порядку.

Рішення шукаємо у вигляді

u_c= u_c.с+ u_c.в..

Так як в колі після комутації нема джерела енергії, то u_c= 0.

u_c.в шукаємо як загальне рішення вихідного однорідного диференційного рівняння другого порядку. Вигляд загального рішення цього рівняння вибирається в залежності від коренів характеристичного рівняння.

Запишемо та знайдемо рішення характеристичного рівняння:

або , де – коефіцієнт згасання контуру без втрат.

В залежності від величини дискримінанту можливі три випадки: D>0; D=0; D<0. Тому можливі три випадки значень коренів характеристичного рівняння та із-за цього три характери перехідного процесу: аперіодичний, гранично-аперіодичний та коливальний (періодичний).

8.11.1. Аперіодичний розряд конденсатора

Аперіодичний розряд конденсатора на активний опір R та індуктивну котушку L має місце у тому випадку, коли D>0, тобто дискримінант більше нуля.

, або ,

де – хвильовий опір контуру.

Отже, для отримання аперіодичного розряду конденсатора активний опір кола повинен бути більше подвоєного хвильового опору контуру R, L, С.

У цьому випадку корені будуть дійсними від’ємними числами, причому: |p₁|<|p₂|.

Загальне рішення однорідного диференційного рівняння шукаємо у вигляді:

тоді

Для визначення двох сталих інтегрування А₁, А₂ необхідно мати два рівняння. В якості другого рівняння візьмемо рівняння для струму:

Скористаємося початковими незалежними умовами. При t=0:

,

звідси , .

Тоді:

Враховуючи, що

Отримаємо: .

Перехідна напруга на індуктивній котушці:

.

Побудуємо часові діаграми і, u_L, u_C.

З отриманих виразів видно, що функції і, u_L, u_C в кожний момент часу визначаються різницею двох експонент з коефіцієнтом згасання P₁ та Р_2.

Так як |P₂|>|P₁|, то експоненти згасають швидше ніж .

Побудуємо графік для u_C:

Перехідна напруга на конденсаторі u_C нерозривно та плавно зменшується з плином часу від напруги джерела U до нуля.

Графіки перехідного струму і та напруги u_L побудуємо на основі характерних точок.

Перехідний струм і змінюється від нуля і досягає максимального значення в момент часу t₁, який можна визначити з умови:

, або ,

звідки .

В момент часу t₂=2t₁ крива і має точку перегину. Враховуючи ці особливості будуємо графік перехідного струму і.

Перехідна напруга u_L в момент комутації дорівнює u_L (0₊)= - u_c (0)= - U. При t= t₂ перехідна напруга u_L досягає додатного максимального значення.

При t= t₂ u_L = L di/dt = 0, тому що .

Таким чином u_с та і, з якими пов’язані запаси енергії в електричних та магнітних полях, ведуть себе аперіодично.

Розглянемо енергетичну сторону аперіодичного розряду конденсатора на R та L.

В інтервалі часу , коли струм зростає, енергія електричного поля конденсатора перетворюється в теплову енергію в опорі R та витрачається на утворення магнітного поля в котушці.

Коли струм починає зменшуватися, то енергія електричного та магнітного полів перетворюється тільки в теплову енергію в резисторі R.

Під час аперіодичного розряду конденсатора на R та L перезарядження конденсатора не відбувається.