8.4. Класичний метод розрахунку перехідних процесів. Сталі та вільні складові перехідних струмів та напруг

Класичний метод розрахунку перехідного процесу полягає в інтегруванні диференційного рівняння, яке описує перехідний процес у колі, рішення якого представляється у вигляді суми сталої та вільної складових, а сталі інтегрування визначаються з початкових умов.

Розглянемо застосування класичного методу розрахунку перехідних процесів на конкретному прикладі електричного кола рис. 8.3.

Вимикач S замикається, в контурі R, L, C виникає перехідний процес.

Порядок розрахунку:

1. Визначаємо гілки та контури, охвачені перехідним процесом.

2. Довільно задаємося додатнім напрямом перехідних струмів і напруг, а також напрямом обходу контуру. Для зручності розрахунку вони вибираються співпадаючими.

3. З урахуванням вибраних напрямків і та u_c визначаємо незалежні початкові умови: i_L(0) та u_c (0) в колі до комутації.

4. Перехідні процеси у контурі R, L, C описуються рівнянням, складеним за ІІ законом Кірхгофа:

.

Враховуючи, що , перейдемо до рівняння відносно змінної u_c, щоб виключити операцію інтегрування для знаходження і, u_L та u_R:

Отримане рівняння є лінійним неоднорідним диференційним рівнянням 2-го порядку з постійними коефіцієнтами. Порядок диференційного рівняння можна визначити за схемою кола після комутації: він дорівнює числу внутрішніх накопичувачів енергії L та C.

Рішення такого рівняння знаходиться у вигляді суми часткового рішення неоднорідного рівняння u_c.c та загального рішення однорідного рівняння u_c.в, отриманого з вихідного при рівності правої частини нулю, тобто u_c= u_c.c+ u_c.в, де u_c – перехідна напруга на конденсаторі, u_c.c – стала напруга, u_c.в – вільна напруга на конденсаторі.

Перехідний(на) струм (напруга) – це струм (напруга) у колі під час перехідного процесу.

Сталий(а) струм (напруга) – це періодичний(а) або постійний струм (напруга), які виникають у колі після закінчення перехідного процесу.

Для визначення сталої напруги необхідно розрахувати коло у сталому режимі після закінчення перехідного процесу.

Математично u_c.c знаходиться як часткове рішення неоднорідного рівняння:

Вільна(ий) напруга (струм) – це напруга (струм), які дорівнюють різниці перехідної(го) та сталої(го) напруг (струмів).

Вільні напруги та струми можуть існувати тільки за рахунок запасу енергії, накопиченої в електричних полях конденсаторів та магнітних полях котушок. З плином часу вони прямують до нуля, так як запас енергії полів розсіюється на активних опорах кола, перетворюючись в тепло.

Математично u_c.в знаходиться як загальне рішення однорідного рівняння:

.

Т аким чином, перехідні процеси штучно представляються як накладення сталого режиму, який існує ніби спочатку перехідного процесу, та вільного режиму, інтенсивність якого завжди прямує до нуля. Це можливо лише у лінійних колах, де справедливий принцип суперпозиції.

Аналіз перехідних процесів класичним методом можна схематично представити у вигляді схеми, приведеній на рис.8.4,

де – внутрішня ЕРС, яка обумовлена магнітним полем котушки;

– внутрішня ЕРС, яка запасена в електричному полі конденсатора.

Фізичне тлумачення часткового рішення неоднорідного диференційного рівняння, як сталої напруги u_c.c, та загального рішення однорідного диференційного рівняння, як вільної напруги u_c.в , є позитивною особливістю тільки класичного методу дослідження ПП.