8.9. Перехідний процес при включенні кола з послідовним з’єднанням r та с до джерела постійної напруги

Нехай конденсатор був попередньо заряджений до напруги U_c (рис.8.13).

Задамося додатними напрямками u_c та і, а також обходом контуру.

Визначимо незалежні початкові умови з урахуванням напряму ПП:

u_c(0) = - U_c.

ПП у колі описуються наступним рівнянням:

Ri + u_c = U,

або + u_c = U.

Рішенням цього рівняння буде: u_c = u_cc + u_cв.

Стала напруга u_cc= U, так як після закінчення ПП U = const та =0.

Вільну напругу шукаємо з однорідного рівняння

+ u_cв=0,

вона буде дорівнювати u_cв= Ае^pt,

де p = – корінь характеристичного рівняння RС p + 1 = 0.

τ = = RС, δ =1/τ = – коефіцієнт затухання.

Тоді перехідна напруга буде дорівнювати:

u_c = U + .

Сталу інтегрування визначаємо з початкових умов при t = 0:

u_c(0) = u_cc (0) + u_cв(0),

або -U_с = U + А, звідси А = -U - U_c= - ( U+ U_c).

Кінцевий вираз для перехідної напруги на конденсаторі має вигляд:

u_c = U - ( U+ U_c).

Перехідний струм дорівнює:

і = = .

Побудуємо часові діаграми для u_c та і для кількох характерних випадків.

І. U_c = 0, тобто конденсатор до комутації не заряджений, що відповідає нульовим ПУ.

У цьому випадку (рис 8.14)

u_c=U(1-), і = = .

2. U_c=U, тобто напруга на конденсаторі до комутації дорівнює напрузі джерела та співпадає з напрямком, вказаним на схемі. Після комутації конденсатор перезаряджається від напруги –U до U (рис 8.15).

u_c=U(1-2), і = = 2.

3. U_c = -U, тобто конденсатор попередньо заряджений до напруги джерела живлення. У цьому випадку u_c(0)=U, i=0, тому після комутації перехідного процесу не буде.

4. U_c= -2U, тобто конденсатор попередньо заряджений до подвійної напруги джерела живлення. У цьому випадку після комутації проходить розряд конденсатора від напруги 2U до U, тому маємо:

u_c=U(1+), і = = - .

Для всіх випадків перехідного процесу у колі R, C перехідний струм і в момент комутації змінюється стрибком. Якщо R буде малим, то стум в початковий момент може в багато разів перевищувати номінальний. Це необхідно враховувати.

Під час зарядження конденсатору енергія джерела затрачується на збільшення енергії електричного поля конденсатора та на теплові втрати в активному опорі.

,

Тобто енергія, яку віддає джерело живлення під час заряду конденсатора, розподіляється навпіл між конденсатором та резистором, незалежно від співвідношення параметрів R та С.

8.10. Перехідний процес при включенні кола з послідовним з‘єднанням r та c до джерела синусоїдальної напруги

Визначимо перехідний струм та перехідну напругу на конденсаторі при підключенні кола до джерела синусоїдальної напруги u=U_msin(ωt+φ_u) (рис.8.17).

Задаємося додатними напрямками u_c та і , а також напрямком обходу контуру.

Визначимо незалежні початкові умови:

u_c(0)= 0.

Перехідний процес у колі описується рівнянням:

.

Загальне рішення має вигляд:

u_c = u_cc + u_cв.

Сталу напругу знаходимо із кола після комутації:

u_cc = U_mc sin(ωt+ψ_i - ) = U_mc sin(ωt+ψ_u – φ - )

(напруга на конденсаторі відстає від струму на ),

де , Z= ,

Вільна напруга на конденсаторі дорівнює u_cв = A,

тоді u_c =U_mc sin(ωt+ψ_u – φ - )+A.

Визначимо сталу інтегрування А з ПУ при t=0:

u_c(0) = u_cc (0) + u_cв(0), або 0 =U_mc sin(ψ_u – φ - )+A.

Звідки А= - U_mc sin(ψ_u – φ - ).

Тоді перехідна напруга на конденсаторі дорівнює

u_c =U_mc sin(ωt+ψ_u – φ - ) - U_mc sin(ψ_u – φ - )..

Перехідний струм у колі дорівнює

i=C= І_m sin(ωt+ψ_u – φ) + sin(ψ_u – φ - )..

З наведених виразів видно, що характер ПП залежить від початкової фази напруги ψ_u на вході кола в момент комутації.

При цьому можливі два крайні випадки.

1. В момент комутації .

У цьому випадку вільна напруга та вільний струм не існують, тобто

u_cв=0, і_cв=0.

У колі миттєво настає сталий режим (рис.8.18)

u_c = u_cc =± U_mc sinωt,

і =і_c =± І_m cosωt.

2. В момент комутації

ψ_u -=+n, де n=0,1…

У цьому випадку вільна напруга та вільний струм приймають при t=0 максимальні значення:

u_cв(0)=+U_mc, i_cв(0)=.

Стала напруга приймає максимальне, але протилежне за знаком значення (рис.8.19)

u_cc(0)= U_mc.

Сталий струм в момент комутації дорівнює нулю: i_c(0)=0. Тому перехідна напруга починає змінюватися від 0, а струм від максимального значення. Отже, у колі при t=0 спостерігається стрибок струму. (рис.8.20).