- •Дифференциальное исчисление
- •Содержание
- •Введение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •Теоремы о пределах (правила предельного перехода)
- •Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства эквивалентных бесконечно малых функций
- •Важнейшие эквивалентности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Практическое занятие по теме: Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Практическое занятие по теме: вычисление производной функции одной переменной. Таблица производных. Нахождение частных производных. Производная сложной функции
- •Правила дифференцирования результатов арифметических действий над функциями
- •Геометрический смысл производной функции одной переменной
- •Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Практическое занятие по теме: производная неявной функции однОй и нескольких переменных. Производная функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование
- •Производная неявно заданной функции.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Логарифмическое дифференцирование.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Практическое занятие по теме: Дифференциал функции одной и нескольких переменных, применение дифференциалов в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Основные свойства дифференциала
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7. Практическое занятие по теме: Правило Лопиталя
- •1.Неопределенность
- •2.Неопределенность .
- •3.Неопределенности , , .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Практическое занятие по теме: Общая схема исследования функции и построение графика
- •Алгоритм исследования функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
, , (4.8)
где ‑ угол между осью и касательной , проведенной к линии пересечения поверхности с плоскостью , в точке .
‑ угол между осью и касательной , проведенной к линии пересечения поверхности с плоскостью , в точке ; (см. рис.4.2).
П лоскость ‑ касательная плоскость к поверхности , прямая ‑ нормаль к поверхности (см. рис.4.3).
, (4.9)
. (4.10)
Пример 1. Используя определение частной производной, найти частные производные функции .
Решение. 1. Находим
.
Воспользуемся формулой , тогда
2. По формулам (4.4)
,
.
Ответ. , .
Пример 2. Найти частные производные функций по каждой из независимых переменных.
а) .
Решение. 1. Найдем , предполагая, что изменяется , а остается постоянной:
.
2. Найдем , предполагая, что изменяется , а остается постоянной:
.
Ответ. , .
б) .
Решение.
,
.
Ответ. , .
в) .
Решение. 1. Найдем предполагая что изменяется , а остается постоянной, тогда необходимо воспользоваться формулой 2 таблицы производных:
2. Найдем предполагая что изменяется , а остается постоянной, тогда необходимо воспользоваться формулой 5 таблицы производных:
Ответ. ,
г) .
Решение. Функция ‑ функция четырех независимых переменных. Эта функция будет иметь четыре частных производных.
При постоянных и получаем:
При постоянных и получаем:
При постоянных и получаем:
При постоянных и получаем:
Ответ. , ,
, .
Пример 3. Найти частные производные сложных функций.
а) , где , .
Решение. Данная сложная функция двух переменных удовлетворяет условиям теоремы 2, поэтому её частные производные могут быть найдены по формулам (4.5).
Найдем и : , .
Найдем и : , .
Найдем и : , .
По формулам (4.5) получаем: ,
.
Ответ. , .
б) , где .
Решение. Данная сложная функция двух переменных удовлетворяет условиям теоремы 3, поэтому её производную можно найти по формуле (4.6).
Найдем и : , .
Найдем и : , .
Тогда по формуле (4.6): .
Ответ. .
в) , где .
Решение. Данная сложная функция двух переменных удовлетворяет условиям следствия теоремы 3, поэтому её производную можно найти по формуле (4.7).
Найдем и : ,
.
Найдем : . По формуле (4.7) получаем:
,
тогда ,
или .
Ответ. .
Пример 4. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
Решение. 1) Найдем и :
,
.
2) По формуле (4.9) касательная плоскость имеет уравнение:
;
или .
По формуле (4.10) каноническое уравнение нормали к данной поверхности имеет вид:
или .
Ответ. , .