- •Дифференциальное исчисление
- •Содержание
- •Введение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •Теоремы о пределах (правила предельного перехода)
- •Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства эквивалентных бесконечно малых функций
- •Важнейшие эквивалентности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Практическое занятие по теме: Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Практическое занятие по теме: вычисление производной функции одной переменной. Таблица производных. Нахождение частных производных. Производная сложной функции
- •Правила дифференцирования результатов арифметических действий над функциями
- •Геометрический смысл производной функции одной переменной
- •Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Практическое занятие по теме: производная неявной функции однОй и нескольких переменных. Производная функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование
- •Производная неявно заданной функции.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Логарифмическое дифференцирование.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Практическое занятие по теме: Дифференциал функции одной и нескольких переменных, применение дифференциалов в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Основные свойства дифференциала
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7. Практическое занятие по теме: Правило Лопиталя
- •1.Неопределенность
- •2.Неопределенность .
- •3.Неопределенности , , .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Практическое занятие по теме: Общая схема исследования функции и построение графика
- •Алгоритм исследования функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
2.Неопределенность .
, где ,
. Затем, используя правило Лопиталя найти и сравнить этот предел с единицей. Тогда,
3.Неопределенности , , .
Пределы во всех трех случаях находят с помощью предварительного логарифмирования.
Пример 1. Найти .
Решение. Имеем
(здесь заменили бесконечно малую на эквивалентную: ).
Ответ. .
Пример 2. Найти .
Решение. Применяя дважды правило Лопиталя, получим
.
Ответ.
Пример 3. Найти .
Решение. Имеем
.
Ответ. .
Пример 4. Найти (неопределенность).
Решение. Имеем
.
Ответ. .
Пример 5. Найти (неопределенность).
Решение. Имеем .
Так как
, то .
Ответ. .
Пример 6. Найти .
Решение. Пусть , прологарифмируем обе части равенства: . Тогда
(здесь заменили бесконечно малую величину на эквивалентную: ).
Таким образом , т.е. .
Ответ. .
Задачи для самостоятельного решения
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
7.15.
7.16.
8. Практическое занятие по теме: Общая схема исследования функции и построение графика
Для того чтобы построить график функции необходимо изучить ее свойства, используя пределы и производную.
Рассмотрим основные свойства функции.
Функция , заданная на симметричном относительно начала координат промежутке, называется четной (нечетной), если для любого значения из этого промежутка выполняется равенство .
График четной функции симметричен относительно оси .
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Функция называется периодической, если существует число такое, что для любого значения из области определения функции выполняется равенство , где – наименьший положительный период.
Если – наименьший положительный период функции, то число , где – также является периодом функции.
Например, наименьшим положительным периодом функций и является число , а для функций и это число .
Из определения периодической функции следует, что её график будет «повторять» себя через промежуток равный по длине наименьшему положительному периоду . Поэтому достаточно построить график такой функции на любом промежутке вида и смещая построенный график вдоль оси на отрезке длины , получим график функции .
Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале, если большим значениям аргумента соответствуют большие (меньшие) значения функции, т.е. если , то .
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями. Интервал, на котором функция возрастает (убывает) называется интервалом возрастания (убывания) функции или интервалом монотонности.
Точка, в которой производная равна нулю или не существует, называется критической точкой.
Точка из области определения функции называется точкой минимума (максимума) этой функции, если существует такая - окрестность точки , что для всех из этой - окрестности выполняется неравенство . Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках называются соответственно максимумом и минимумом функции, или экстремумами функции.
График функции называется выпуклым (вогнутым) на некотором интервале, если касательная, проведенная к графику функции в любой точке с абсциссой из этого интервала, расположена выше (ниже) графика функции
Точка графика функции, в которой график функции меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.
В абсциссе точки перегиба производная второго порядка равна нулю, или не существует.
Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремиться к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.
Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными.
Вертикальная асимптота: , где ‑ точка разрыва II–го рода.
Наклонная асимптота : , где
. (8.1)
. (8.2)
Замечание. Если хотя бы один из пределов (8.1) или (8.2) не существует или равен бесконечности, то график функции наклонной асимптоты не имеет.
Горизонтальная асимптота: – прямая, параллельная оси , существует при . Тогда
. (8.3)
Замечание. Асимптоты графика функции при и при могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (8.1), (8.2) и (8.3) следует отдельно рассматривать случай, когда и когда .