Алгоритм исследования функции

I. Найти область определения, область значений функции.

II. Исследовать на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их род.

III. Найти асимптоты графика функции.

IV. Выяснить обладает ли график свойствами симметрии. Исследовать функцию на четность, нечетность.

V. Исследовать функцию на периодичность.

VI. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и выяснить расположение функции относительно оси .

VII. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

Функция возрастает на интервале, если на этом интервале . Функция убывает на интервале, если на этом интервале .

Алгоритм нахождения точек экстремума функции

1. Найти производную функции и приравнять её к нулю. Решая полученное уравнение, найти критические точки.

2. Убедиться в том, что критические точки принадлежат области определения функции (если не принадлежат, то не являются точками экстремума).

3. Разбить область определения функции критическими точками на промежутки.

4. Определить знак производной функции на каждом промежутке: если знак при переходе через точку сменился с “+” на “‑”, то точка ‑ точка максимума. Если знак при переходе через точку сменился с “‑” на “+”, то точка ‑ точка минимума. Если знак не изменяется, то в точке экстремума нет.

5. Найти значения функции в точках экстремума.

VIII. Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции. Найти точки перегиба функции.

Функция ‑ выпуклая на интервале, если в любой точке этого интервала .

Функция ‑ вогнутая на интервале, если в любой точке этого интервала .

Алгоритм нахождения точек перегиба функции

1. Найти производную второго порядка и приравнять её к нулю. Решая полученное уравнение, найти абсциссы точек подозрительных на перегиб (в них или не существует).

2. Убедиться в том, что абсциссы точек, подозрительных на перегиб принадлежат области определения функции (если не принадлежат, то не являются абсциссами точек перегиба).

3. Разбить область определения функции полученными значениями на интервалы и найти знак производной второго порядка на каждом интервале. Если при переходе через точку производная второго порядка меняет знак, то ‑ абсцисса точки перегиба.

4. Найти ординаты точек перегиба.

IX. Если необходимо найти значения функции в нескольких точках, принадлежащих области определения.

X. По данному исследованию построить график функции.

Пример 1. Найти наклонную асимптоту графика функции , если она существует.

Решение. Найдем и по формулам (8.1) и (8.2).

,

.

Тогда наклонная асимптота существует, и её уравнение имеет вид .

Ответ. .

Пример 2. Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума.

Решение. Проведем исследования по вышеприведенному алгоритму. . Чтобы найти критические точки решим уравнение :

,

при , не существует при . Так как, , то . Разобьем область определения функции точками на интервалы и определим знак на каждом из них.

, , , .

Таким образом, функция возрастает на интервале и убывает на интервале , ‑ точка максимума и , ‑ точки минимума и .

Пример 3. Исследовать график функции на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба.

Решение. Проведем исследование по выше приведенному алгоритму.

. Чтобы найти абсциссы точек, подозрительных на перегиб, составим и решим уравнение :

,

при ( существует при любом ). Так как , то . Разобьем область определения функции точками на интервалы и определим знак на каждом из них.

, , .

Таким образом, график функции вогнутый на интервале , выпуклый на интервале , – абсциссы точек перегиба.

, тогда являются точками перегиба.

Пример 4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график.

Решение. Для исследования данной функции будем использовать алгоритм, приведенный выше.

I. Данная функция имеет смысл при всех значениях x, кроме точки , т.е. область определения данной функции

.

Функция может принимать только неотрицательные значения, значит область значений функции

.

2. Функция непрерывна во всех точках области определения. Точка является точкой разрыва II-го рода, т.к. .

3. Прямая является вертикальной асимптотой графика данной функции, т.к. является точкой разрыва II-го рода. Найдем уравнение наклонной асимптоты y=kx+b. По формуле (8.1) (наклонной асимптоты нет), по формуле (8.3) .

Таким образом, график рассматриваемой функции имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой .

4. Данная функция не является ни четной, ни нечетной, т.к.

, . Значит график функции не обладает свойством симметрии.

5. Данная функция не является периодической.

6. , при , т.е. график функции пересекает ось OX в точке A(–1;0).

При x=0 функция принимает значение y(0)=1, т.е. график функции пересекает ось OY в точке B(0;1).

на интервале и следовательно на этом интервале график функции расположен выше оси OX.

7. Исследуем функцию на экстремум и определим интервалы монотонности. Для этого вычислим производную:

.

‑ критические точки. В точке экстремума нет, т.к. . Разобьем область определения функции этими точками на интервалы и определим знак на каждом из них.

Поскольку при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке имеется минимум: . На интервале функция убывает, на интервале – возрастает.

VIII. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость. Для этого вычислим производную второго порядка:

.

Точки, в которых производная второго порядка равна нулю или не существует, . Нанесем эти точки на числовую ось и определим знак на каждом из полученных интервалов.

Поскольку при переходе через точку производная второго порядка меняет знак, то в этой точке имеется точка перегиба: . На интервале функция выпукла, на интервале – вогнута.

X . Строим график функции. Построение начинаем с изображения асимптот, а также наносим точки экстремума, точки перегиба и точки пересечения с осями координат (см. рис.8.1).