Задачи для самостоятельного решения
Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию:
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
Задана функция
.
При каком выборе параметров, функция
будет непрерывной?
3.18.
3.19.
3.20.
4. Практическое занятие по теме: вычисление производной функции одной переменной. Таблица производных. Нахождение частных производных. Производная сложной функции
Определение 1.
Производной
функции одной переменной
в точке
называется
предел отношения приращения функции
к приращению независимой переменной
этой точки, при стремлении последнего
к нулю.
Обозначается
.
(4.1)
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Теорема 1.
Если функция
имеет производную
в точке
,
функция
имеет производную
в соответствующей точке
(
),
то сложная функция
имеет производную
,
в точке
,
которая находится по формуле
.
Правила дифференцирования результатов арифметических действий над функциями
Пусть
,
,
.
-
,
где
-
-
-
-
-
,
где
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический смысл производной функции одной переменной
,
где
‑ угол между осью
и касательной, проведенной к графику
функции
в точке
,
‑ угловой коэффициент касательной
(см. рис.4.1).
-
уравнение касательной:
; (4.2)
-
уравнение нормали:
(если
).(4.3)
Пример 1.
Используя определение производной,
найти производную функции
.
Решение. 1.
По приращению независимой переменной
находим приращение функции
,
имеем
.
2. Составляем
отношение
,
имеем
.
3. По формуле (4.1)
Так как
при
(см. п.2, важнейшие эквивалентности), то
,
тогда
.
Ответ.
.
Пример 2. Найти производные функций.
а)
.
Решение. По правилу 5 находим
.
Ответ.
.
б)
.
Решение. Обозначим
,
тогда
.
Используя теорему
1 о дифференцировании сложной функции
и формулы 2 и 10 таблицы производных
имеем:
.
Ответ.
.
в)
.
Решение. Обозначим
,
тогда
.
Используя теорему 1 о дифференцировании
сложной функции одной переменной и
формулу 5 таблицы производных, имеем:
.
По правилу 6 находим
,
тогда
.
Ответ.
.
Пример 3.
Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке с абсциссой
.
Решение.
Если
,
то
,
а
и
.
По формулам (4.2.) и (4.3) уравнение касательной
примет вид
,
,
,
а уравнение нормали – соответственно
,
,
.
Ответ. Уравнение
касательной
,
уравнение нормали
.
Пример 4.
Найти угол между линиями
и
.
Решение. Угол между линиями ‑ это угол между касательными к этим линиям, проведенными к каждой из них в точке их пересечения.
Найдем точки
пересечения заданных линий:
,
.
Теперь найдем угловые коэффициенты
касательных к этим линиям в каждой
точке пересечения:
,
,
при
;
,
;
;
при
;
,
;
.
Ответ.
,
.
Определение 2.
Частной
производной функции двух переменных
в точке
по данной независимой переменной
называется предел отношения приращения
функции в точке
к соответствующему приращению независимой
переменной, при стремлении последнего
к нулю. Обозначается
,
;
,
.
;
. (4.4)
Аналогично для
функции
‑ независимых переменных
:
.
Из определения частных производных следует, что частная производная находится в предположении, что изменяется только одна независимая переменная, а остальные остаются постоянными.
Теорема 2.
Если
‑ дифференцируемая функция и
,
‑ дифференцируемые функции независимых
переменных
и
,
то производные сложной функции
по каждой независимой переменной
и
вычисляются по формулам:
,
. (4.5)
Теорема 3.
Если
дифференцируемая функция и
,
дифференцируемые функции независимой
переменной
,
то производная сложной функции
вычисляется
по формуле
. (4.6)
Следствие. Если
дифференцируемая функция и
‑ дифференцируемая функция независимой
переменной
,
то производная сложной функции
вычисляется по формуле
. (4.7)