3. Практическое занятие по теме: Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация

В связи с тем, что для функции одной переменной можно приближаться к по двум направлениям (слева и справа), существуют понятия левостороннего и правостороннего пределов.

Определение. Число называется левосторонним пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого наперед заданного числа , найдется такое число , что при выполняется неравенство .

Иначе говоря, если слева (оставаясь меньше ), то предел функции – левосторонний, записывается в виде .

Определение. Число называется правосторонним пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого наперед заданного числа , найдется такое число , что при выполняется неравенство .

Иначе говоря, если справа (оставаясь больше ), то предел функции – правосторонний, записывается в виде .

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Пусть – функция одной переменной. Рассмотрим два определения непрерывности этой функции в точке.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если эта функция определена в некоторой окрестности точки и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. .

Определение 2. Функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, существуют конечные односторонние пределы функции в этой точке, которые равны между собой и равны значению функции в точке , т.е. , где .

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции, а сама функция – разрывной в этой точке.

Точка называется точкой разрыва I–го рода функции , если односторонние пределы функции в этой точке существуют, конечны, но не равны между собой, т.е. , и .

Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если односторонние пределы функции в этой точке существуют, конечны, равны между собой, но не равны значению функции в этой точке, т.е. и .

Точка называется точкой разрыва II –го рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов (слева или справа) функции в этой точке не существует или равен бесконечности.

Пример 1.Показать, что функция непрерывна в любой точке числовой оси.

Решение. Найдем приращение данной функции в произвольной точке числовой оси .

Так как ,

то . По определению 1 это означает, что функция непрерывна.

Пример 2. Решить вопрос о непрерывности функции

Решение. Так как функция задана различными аналитическими выражениями на разных интервалах, то сомнения в непрерывности функции могут возникнуть (в данном случае) лишь в точках и .

Имеем, , , ,

т.е. . Тогда по определению 2 функция непрерывна в точке .

,,

. Это значит, что в точке функция терпит разрыв I–го рода.

Разность между правым и левым пределом в точке разрыва I–го рода называется скачком. Таким образом, – скачок в точке (см. рис.3.1).

Ответ. Данная функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки , в которой функция терпит разрыв I–го рода.

Пример 3. Найти точки разрыва и установить род точек разрыва функции .

Решение. Данная функция не определена в точках и .

Найдём: ; ;

; .

Следовательно, и являются точками разрыва II‑го рода.

Ответ. и ‑ точки разрыва II‑го рода.

Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. В точке функция не определена . В других точках дробь может быть сокращена на , так как . Тогда при , и .

‑ точка устранимого разрыва.

Доопределив функцию в точке :

мы будем иметь функцию, которая непрерывна в точке .

Ответ. Функция непрерывна во всех точках, кроме ‑ точки устранимого разрыва.