- •Дифференциальное исчисление
- •Содержание
- •Введение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •Теоремы о пределах (правила предельного перехода)
- •Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства эквивалентных бесконечно малых функций
- •Важнейшие эквивалентности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Практическое занятие по теме: Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Практическое занятие по теме: вычисление производной функции одной переменной. Таблица производных. Нахождение частных производных. Производная сложной функции
- •Правила дифференцирования результатов арифметических действий над функциями
- •Геометрический смысл производной функции одной переменной
- •Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Практическое занятие по теме: производная неявной функции однОй и нескольких переменных. Производная функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование
- •Производная неявно заданной функции.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Логарифмическое дифференцирование.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Практическое занятие по теме: Дифференциал функции одной и нескольких переменных, применение дифференциалов в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Основные свойства дифференциала
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7. Практическое занятие по теме: Правило Лопиталя
- •1.Неопределенность
- •2.Неопределенность .
- •3.Неопределенности , , .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Практическое занятие по теме: Общая схема исследования функции и построение графика
- •Алгоритм исследования функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин
Первый замечательный предел
. (2.1)
Второй замечательный предел
, (2.2)
. (2.3)
Число называется неперовым числом, .
Следствия замечательных пределов
, (2.4)
, (2.5)
, (2.6)
, (2.7)
, (2.8)
где , при .
Пример 1. Найти предел .
Решение. Перейдем к новой переменной , тогда
. Теперь при , получаем
, т.к. по формуле (2.4) .
Ответ. .
Пример 2. Найти предел .
Решение. Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела на : . Тогда
.
По формуле (2.5), .
Тогда .
Ответ. .
Пример 3. Найти предел .
Решение. , тогда
т.к. по формуле (2.1) , по формуле (2.5) и .
Ответ. .
Пример 4. Найти предел
Решение. Перейдем к новой переменной . Тогда , , и при , поэтому получаем .
Так как , то
по формуле (2.1), а, тогда
Ответ. .
Пример 5. Найти предел .
Решение. При в данном пределе имеем неопределенность .
Тогда по формуле (2.7) .
Ответ. .
Пример 6. Найти предел .
Решение. , т.к. (см. п.1). .
Таким образом, в данном пределе имеем неопределенность . Преобразуем выражение, стоящее в скобках:
.
Тогда , где , при .
Воспользуемся формулой (2.8):
.
Здесь , т.к. (см. п.1).
Ответ. .
Пример 7. Найти предел .
Решение. , , т.к. при ‑ бесконечно малая функция, а значит ‑ бесконечно большая (см. п.1). Поэтому в данном пределе имеем неопределенность . Перейдем к новой переменной . Тогда : .
При . Получаем: , где , а при . Воспользуемся формулой (2.8):
.
Ответ. .
Пример 8. Найти предел .
Решение. Преобразуем выражения, стоящие в скобках и в показателе степени: , .
Тогда , где и при . Воспользуемся формулой (2.8):
Ответ. .
Задачи для самостоятельного решения
Найти пределы.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16. .
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
При приближении к предельной точке, общей для нескольких бесконечно малых функций, скорость их стремления к нулю бывает различной. Сравнение таких бесконечно малых функций привело к понятию порядка малости.
Если , то – бесконечно малая –го порядка малости относительно .
Чем выше порядок малости, тем быстрее переменная стремится к нулю.
Чтобы сравнить две бесконечно малые функции надо найти предел их отношения.
Пусть и есть бесконечно малые функции при , т. е. и .
Если
Отметим, что таковы же правила сравнения бесконечно малых функций при .
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые функции.
Бесконечно малые функции и называются эквивалентными при , если ; это обозначается так: .